تاریخچه حساب دیفرانسیل و انتگرال

یکی از شاخه‌های اصلی ریاضیات، حساب دیفرانسیل و انتگرال یا به اختصار، حسابان (Calculus)است. این رشته از دگرگونی جبر و هندسه به وجود آمده است. حسابان خود دو شاخه اصلی دارد: حساب فاضله (یا حساب دیفرانسیل) و حساب جامعه (یا حساب انتگرال) گوتفرید لایبنیتز(Gottfried Wilhelm Leibniz) وایساک نیوتون(Sir Isaac Newton) به‌طور هم‌زمان و مستقل این حساب را کشف و طراحی کردند اما علائمی که امروزه در این حساب استفاده می‌شود از ابداعات لایبنیتز است. 

تاریخچه حساب دیفرانسیل و انتگرال

حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای برآورده کردن نیازهای دانشمندان قرن ۱۷ ابداع شد. البته لازم به ذکر است که ریشه‌های این علم را می‌توان تا هندسه کلاسیک یونانی ردیابی کرد.

حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می‌داد شیب خم‌ها را تعریف کنند، زاویه آتش‌بازی توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند و زمان‌هایی که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را از هم دارند، پیش‌بینی کنند.

پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن ۱۸ با سرعت زیادی ادامه یافت. در زمره مهم‌ترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند می‌توان به برادران برنولی اشاره کرد. در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند.

این علم عمدتاً حاصل کار دانشمندان قرن هفدهم است. از میان این دانشمندان می‌توان به رنه دکات، کاوالیری، فرما و جیمز گرگوری اشاره کرد. تکمیل ساختار منطقی روش‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضی‌دانان قرن ۱۹ از جمله لوئی کوشی و کارل وایرشتراس برعهده گرفتند.

واژه‌ی Calculus به معنای سنگ‌ریزه آهکی کوچک است که در چرتکه برای محاسبه به کار گرفته می‌شود. نام این رشته یادگار دورانی است که روم و یونان باستان با چیدن سنگ‌ریزه‌های آهکی (شن) بر زمین، مفاهیمی در حساب و هندسه را نمایش می‌دادند.

در گذشته به این رشته «حساب جامعه و فاضله» گفته می‌شد و در سال‌های اخیر واژه «حسابان» به‌کار می‌رود که اشاره به دو شاخه اصلی این رشته دارد. این رشته در بیشتررشته‌های علمی و فنی کاربرد دارد.

حساب دیفرانسیل – differential calculus

در ریاضیات، حساب دیفرانسیل یکی از زیرمجموعه‌های حسابان است که به مطالعه‌ی نرخ تغییرات کمیت‌ها می‌پردازد. این حساب یکی از دو بخش سنتی حسابان است که بخش دیگر آن، حساب انتگرال است.

هدف اصلی مطالعه‌ی حساب دیفرانسیل، محاسبه‌ی تغیرات یک تابع و کاربردهای آن است. مشتق تابع در یک نقطه‌ی دلخواه، نرخ تغییرات تابع در آن نقطه را توصیف می‌کند. فرایند یافتن مشتق، مشتق‌گیری نامیده می‌شود.

از نظر هندسی، مشتق در یک نقطه شیب خط مماس روی نمودار تابع با جهت مثبت محور طول ها در همان نقطه است؛ به شرطی که مشتق در آن نقطه موجود باشد. مشتق تابع حقیقی یک‌ متغیره در هر نقطه، بهترین تقریب خطی برای تابع در آن نقطه است.

حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال با قضیه‌ی اساسی حسابان به یکدیگر مرتبط می‌شوند. این قضیه بیان می‌کند که مشتق‌گیری معکوس انتگرال‌گیری است.

مشتق‌گیری تقریباً در همه‌ی علوم کمّی کاربرد دارد. برای نمونه، در فیزیک، مشتق جابجایی یک جسم متحرک برحسب زمان نشان دهنده‌ی سرعت آن جسم و مشتق سرعت برحسب زمان بیانگر شتاب است.

مشتق تکانه‌ی یک جسم معادل با نیروی وارد بر آن جسم است و بازنویسی این مشتق‌گیری معادله‌ی معروفf=ma را که متناظر با قانون دوم حرکت نیوتن است، به دست می‌دهد. نرخ واکنش یک واکنش شیمیایی، یک مشتق است. مشتقات در تحقیق در عملیات، پربازده‌ترین روش‌های حمل مواد و طراح کارخانه‌ها را تعیین می‌کنند.

مشتقات برای یافتن بیشینه و کمینه‌ی یک تابع نیز به کار می‌روند. معادلات دربرگیرنده‌ی مشتقات، معادلات دیفرانسیل نامیده می‌شوند و در توصیف پدیده‌های طبیعی دارای اهمیت هستند. از مشتقات و تعمیم آن‌ها در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، مانند آنالیز مختلط، آنالیز تابعی، هندسه‌ی دیفرانسیل، نظریه‌ی اندازه و جبر مجرد بهره برده می‌شود.

حساب انتگرال (انتگرال) – Integral calculus

اولین بار لایبنیتز نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد.

انتگرال چیست؟ اگر مشتق را آموخته باشید، می توان گفت که انتگرال گیری عکس عمل مشتق گیری است یعنی؛ پیدا کردن تابعی که (تابع اولیه) مشتق آن انتگرالده را بدهد. برای مثال اگر مشتق تابع sin برابرcos است، انتگرال تابع cos برابر sin است.

انتگرال نیز مانند مشتق دارای قواعد و حالت‌های خاص است که بایستی آنها را فرا بگیرید. اگر بخواهیم هم‌زمان دو عمل مشتق گیری و انتگرال گیری را روی تابعی انجام دهیم، در واقع هیچ کاری انجام نداده ایم زیرا این دو عمل یکدیگر را خنثی می‌کنند.

در انتگرال ∫abf(x)dx ، a و b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند به طوری‌که a و b را به ترتیب کران‌های بالا و پایین انتگرال می‌نامیم. و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال‌گیری است. dx یک کمیت بی‌نهایت کوچک است.