معرفی نرم افزارهای کاربردی رشته ریاضی
نرم افزارهای کاربردی ریاضی ، ریاضی یا ریاضیات را بیشتر دانش بررسی کمیت ها و ساختارها و فضا و دگرگونی (تغییر) تعریف میکنند. دیدگاه دیگری ، ریاضی را دانشی میداند که در آن با استدلال منطقی از اصول و تعریفها به نتایج دقیق و جدیدی میرسیم (دیدگاههای دیگری نیز در فلسفه ریاضیات بیان شدهاست). با اینکه ریاضیات از علوم طبیعی به شمار نمیرود، ولی ساختارهای ویژهای که ریاضیدانان میپژوهند بیشتر از دانشهای طبیعی بهویژه فیزیک سرچشمه میگیرند و در فضایی جدا از طبیعت و محضگونه گسترش پیدا میکنند، بهطوری که علوم طبیعی برای حل مسائل خود به ریاضی بازمیگردند تا جوابشان را با آن مقایسه و بررسی کنند. از این رو تصمیم گرفتیم که در این مطلب ، به معرفی نرم افزارهای کاربردی رشته ریاضی بپردازیم. در نظر داشته باشید، معرفی سرویس های مذکور به معنی تایید یا عدم تایید خدمات آنان نیست و سرویس های فوق بر اساس نتایج جست و جو استخراج شده و دراین مطلب درج شده اند.
۱ – Matlab
2- Maple
3- Mathematica
4- Advanced Grapher
5- Visual Fractal
6- Geogebra
7- MathType
8- Mathcad
9- Maxima
10- XePersian
Matlab ۲
تاریخچه
Cleve Moler، رئیس بخش علوم کامپیوتر در دانشگاه نیو مکزیکو، در اواخر دهه ۱۹۷۰ شروع به توسعه MATLAB کرد. او این برنامه را طراحی کرد تا به دانش آموزانش اجازه دسترسی به LINPACK و EISPACK بدون نیاز به یادگیری Fortran را بدهد. این موضوع به زودی به سایر دانشگاهها گسترش یافت و مخاطبان علاقهمندی در جامعه ریاضی کاربردی پیدا کرد.
معرفی نرم افزارهای کاربردی رشته ریاضی
مهندس جک لیتل، در طی دیدار با Moler از دانشگاه استنفورد در سال ۱۹۸۳ با متلب آشنا شد. او با تشخیص پتانسیل تجاری متلب، تصمیم به همکاری با Moler گرفت. آنها در سال ۱۹۸۴ MATLAB را منتشر کردند و MathWorks را در سال ۱۹۸۴ تأسیس کردند. در سال ۲۰۰۰، MATLAB بازنویسی شد تا از مجموعه جدیدتر کتابخانه برای دستکاری ماتریس، استفاده شود.
متلب برای اولین بار توسط محققان و شاغلان در مهندسی کنترل، تخصص Little’s، استفاده میشد، اما به سرعت در بسیاری از حوزهها گسترش یافت. هم چنین در آموزش به ویژه آموزش جبر خطی، تحلیل عددی و در پردازش تصویر مورد استفاده قرار میگیرد.
کار کردن با ماتریسها در متلب بسیار ساده است. در حقیقت تمام دادهها در متلب به شکل یک ماتریس ذخیره میشوند. برای مثال یک عدد (اسکالر) به شکل یک ماتریس ۱*۱ ذخیره میشود. یک رشته مانند «Whale is the biggest animal» به شکل ماتریسی با یک سطر و چندین ستون (که تعداد ستونها به تعداد کاراکترهاست) ذخیره میشود. حتی یک تصویر به شکل یک ماتریس سه بعدی ذخیره میگردد که بُعد اول و دوم آن برای تعیین مختصات نقاط و بُعد سوم آن برای تعیین رنگ نقاط استفاده میشود. فایلهای صوتی نیز در متلب به شکل ماتریسهای تک ستون (بردارهای ستونی) ذخیره میشوند؛ بنابراین جای تعجب نیست که متلب مخفف عبارت آزمایشگاه ماتریس باشد.
کاربرد نرم افزار متلب – Matlab
متلب یک محیط نرمافزاری برای انجام محاسبات عددی و یک زبان برنامهنویسی نسل چهارم است. واژهی متلب هم به معنی محیط محاسبات رقمی و هم به معنی زبان برنامهنویسی مورد نظر است که از ترکیب دو واژهی MATrix (ماتریس) و LABoratory (آزمایشگاه) ایجاد شدهاست. این نام حاکی از رویکرد ماتریس محور برنامه است، که در آن حتی اعداد منفرد هم به عنوان ماتریس در نظر گرفته میشوند.
علاوه بر توابع فراوانی که خود متلب دارد، برنامهنویس نیز میتواند توابع جدید تعریف کند.
ساخت رابط گرافیکی کاربر مانند دیالوگهایی که در محیطهای ویژوال مانند بیسیک و C وجود دارند، در متلب امکانپذیر است. این قابلیت، ارتباط بهتری را میان برنامههای کاربردی نوشتهشده با متلب و کاربران برقرار میکند.
متلب که از محصولات شرکت متورکس است، برای گروههای مختلف مهندسان رشتههای مختلف از جمله مهندسی برق، مکانیک، رایانه و… کاربرد بسیاری دارد.
توانایی نرم افزار متلب – Matlab
هسته متلب برای سرعت و کارایی بالا به زبان c نوشته شدهاست ولی رابط گرافیکی آن به زبان جاوا پیادهسازی گشتهاست. برنامههای متلب اکثراً متنباز هستند و در واقع متلب (مانند بیسیک) مفسر (رایانه) است نه کامپایلر. قدرت متلب از انعطافپذیری آن و راحت بودن کار با آن ناشی میشود، همچنین شرکت سازنده و گروههای مختلف، از جمله دانشگاههای سرتاسر جهان و برخی شرکتهای مهندسی هر ساله جعبهابزارهای خاص-کاربردی به آن میافزایند که باعث افزایش کارایی و محبوبیت آن شدهاست. فهرستی از این جعبهابزارها در زیر آمدهاست
سیمیولینک، ابزاری برای شبیهسازی سامانهها به صورت مجرد
جعبهابزار مخابرات متلب، توابع و ابزارهای محاسبات مهندسی مخابرات
جعبهابزار کنترل متلب، توابع و ابزارهای محاسبات مهندسی کنترل
جعبهابزار فازی متلب، توابع و ابزارهای محاسبات فازی
جعبهابزار محاسبات متلب، توابع و ابزارهای محاسبات عددی
جعبهابزار تخمین متلب، توابع و ابزارهای محاسبات بحث تخمین سیستم در مهندسی کنترل
جعبهابزار آمار متلب، توابع و ابزارهای محاسبات آمار
جعبهابزار جمعآوری داده متلب، توابع و ابزارهای جمعآوری داده
جعبهابزار شبکه عصبی متلب، توابع و ابزارهای محاسبات شبکه عصبی
جعبهابزار پردازش تصویر متلب، توابع و ابزارهای محاسبات پردازش تصویر
جعبهابزار پردازش صوت متلب، توابع و ابزارهای محاسبات پردازش صوت
جعبهابزار احتمالات متلب
جعبهابزار محاسبات سیمبولیک متلب
جعبهابزار کارگاه بیدرنگ متلب، توابع و ابزارهای محاسبات سامانههای بیدرنگ
۲- نرم افزارمیپل – Maple
Maple2
نرمافزار مِیْپـِل یا سامانهی رایانهای جبری میپل یکی از نرمافزارهای مشهور ریاضی است.
نام آن به معنی درخت افرا (درختی شبیه چنار) است که عکس برگ آن بر پرچم کانادا وجود دارد. دلیل این نامگذاری نوشتهشدن این نرمافزار در دانشگاههای کانادا خصوصاً دانشگاه واترلو است.
از دیگر خصوصیات این نرمافزار راهنمای بسیار قوی آن است که کار کردن با این نرمافزار را بسیار راحت میکند. جدیدترین نگارش این نرمافزار نگارش ۲۰۱۶٫۲ آن است که در تمام زمینههای ریاضی از جمله جبر خطی و ریاضیات گسسته و حسابان و حتی ریاضیات مقدماتی برای دانشآموزان دبیرستانی میتواند مفید واقع شود.
کاربران میتوانند ریاضیات را با علائم تجاری در آن وارد کنند. واسط کاربری نیز میتواند توسط کاربر درست شود. میپل یک زبان برنامهنویسی مرکب از زبانهای دستوری و زبانهای پویا است. همچنین واسط هایی برای کار با دیگر زبانها مثل C ,Fortran,Java,Matlab,Visual Basic وجود دارند.
۳ – نرم افزارمتمتیکا Mathematica
Mathematica
متمتیکا یک نرمافزار جبری بسیار رایج، پدید آورده شده توسط شرکت ولفرم ریسرچ است که اکثر توابع نرمافزاری مورد نیاز در ریاضی و علوم طبیعی را در اختیار استفادهکنندگان آن قرار میدهد.
برنامهنویس و تأسیسکننده شرکت، «استیفن ولفرام» به همراه تیماش کار خود را برای ایجاد متمتیکا، سال ۱۹۸۶ آغاز کرد و اولین نسخه آن را سال ۱۹۸۸ بیرون داد.
مهمترین قابلیتهای این نرمافزار عبارتاند از:
یک سامانه رایانهای جبری (Computer algebra system) برای بررسی نمادین (سمبُلیک) معادلهها
یک نرمافزار عددی (Numerical software) برای حل عددی معادلهها
یک نرمافزار آماری (Statistical software) برای حل مسائل آماری
توابع ترسیمی و تجسمی (Visualization) برای رسم نمودارها توسط نرمافزار پابلیکون
یک زبان برنامهنویسی
رقیبان اصلی این برنامه عبارت هستند از:
در جبر: متکد، میپل، مکسیما، درایو
در تحلیل عددی: متلب
در استفادههای کاربردی: لبویو، پابلیکون، گنوپلات
۴ – نرم افزار Advanced Grapher
Advanced Grapher
این نرم افزار، علاوه بر انجام محاسبات ریاضی ، به رسم نمودار معادلات، نامعادلات و تقریب زدن منحنی ها می پردازد. در این نرم افزار، نمودارهایی برحسب (Y(xو (X(y در مختصات دکارتی و معادلات گوناگونی را در مختصات قطبی می توان رسم کرد. هم چنین نمودار معادلات f(x,y)=0 و نامعادلات f(x,y)>0 ، f(x,y) <0 و روابط (dx/dy(x,y و (dy/dx(x,y را می توان به راحتی به کمک این نرم افزاررسم نمود و رنگ و نوع آن ها را تغییر داد؛ مثلاً رنگ ناحیه ی جواب نامعادله را روی نمودار می توان تغییر داد و یا در کنار مختصات نمودار، عبارات و متونی را اضافه کرد. دیگر قابلیت این نرم افزار این است که با تعریف توابع، مشتق و انتگرال آن ها را محاسبه کرده و نمودار تمامی این توابع را نمایش می دهد. همچنین توانایی آنالیزعددی مشتق، انتگرال توابع مختلف را دارد.
مُنحنیهای ریاضی- Mathematical curves
Mathematical-curves
خَم یا منحنی یک مفهوم هندسی است. در ریاضیات، مفهوم منحنی (خم) برای نشان دادن یک شیء یک بعدی و پیوسته به کار میرود. یک مثال ساده دایره است. در گفتگوی روزمره یک خط صاف، منحنی در نظر گرفته نمیشود ولی در مکالمهی ریاضیاتی خطهای مستقیم و پاره خطها نیز خماند. در هندسه منحنیهای بسیاردیگری مطالعه میشوند. همچنین، منحنی(خم) میتواند هم معنی با تابع ریاضی یا نمودار تابع باشد.
بطور کلی، خم یا منحنی به دو گونهاست:
منحنی مسطح: خمی است که بر روی سطح دوبعدی (صفحه) قابل جایگیری است.
منحنی کج: خمی فضایی است که روی هیچ صفحهای قرار نگیرد.
منحنی مسطح
بطور شهودی، خم مسطح به مجموعهای از نقطهها گفته میشود، به شرط آنکه بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم. منحنیهای مسطح به سه نوع زیر تقسیم میشوند:
منحنی ساده: یک منحنی ساده، یک منحنی مسطح است که هیچ یک از نقطه های خود را قطع نکند.
منحنی بسته: به خمی اطلاق میشود که نقطههای (انتهایی) آن به هم رسیده (و بر یکدیگر منطبق) باشند.
منحنی ساده بسته: منحنی ای ساده بسته است که نقطههای ابتدا و انتهایی آن برهم منطبق باشند و نقطههای خود را قطع نکند.
قضیه منحنی جُردن: هر منحنی سادهٔ بسته C، صفحه را به سه زیر مجموعهٔ جدا از هم درون، بیرون و روی منحنی تقسیم میکند.
درتوپولوژی، منحنی را به صورت زیر تعریف می کنیم:
فرض کنیم I بازهایست از اعداد حقیقی (یعنی یک زیر مجموعه همبند ناتهی از{\mathbb {R}}). آنگاه، خم \!\,\gamma یک نگاشت پیوسته \,\!\gamma :I\rightarrow X است که X یک فضای توپولوژیکی است.
خم \!\,\gamma را ساده میگویند اگر که برای هر x،y در I داشته باشیم:
\,\!\gamma (x)=\gamma (y)\rightarrow x=y
در صورتی که، I بازهای بسته و کراندار\,\![a,b] باشد، امکان\,\!\gamma (a)=\gamma (b) را هم مجاز در نظر می گیریم (این قرارداد امکان این را میدهد که راجع به خم سادهٔ بسته صحبت کنیم).
چنانچه، به ازاء برخی x\neq y (غیر از دوسر I) داشته باشیم:
\,\!\gamma (x)=\gamma (y)
آنگاه به \,\!\gamma (x) یک نقطهٔ مضاعف (یا چندگانه)از خم گفته میشود.
خم \!\,\gamma را بسته یا یک حلقه میگوییم اگر \,\!I=[a,b] و اگر \!\,\gamma (a)=\gamma (b). بنابراین یک خم بسته یک نگاشت پیوسته از دایره S^{1} است. یک خم ساده بسته همچنین یک خم ژوردان گفته میشود. یک خم صفحهای خمای است که برای آن X یک فضای اقلیدسی است—اینها مثالهایی هستند که ابتدا بیان شدند. یک خم فضایی خمای است که برای آن X سه بعدی یا فضای اقلیدسی است. یک خم کج خم فضایی است که روی هیچ صفحهای قرار نگیرد. این تعاریف همچنین در مورد خمهای جبری نیز صادقند. اما در مورد خم جبر معمول است که خم را به داشتن نقاط تعریف شده روی اعداد حقیقی محدود نکنیم.
تفاوت بین یک منحنی و تصویرآن مهم است. دو منحنی متمایز ممکن است تصویر یکسان داشته باشند. به عنوان مثال یک پاره خط میتواند در سرعتهای متفاوت پیموده شود، یا یک دایره میتواند به دفعات متفاوت پیموده شود. با این وجود خیلی اوقات ما فقط به تصویر منحنی علاقهمندیم. مهم است که هنگام مطالعه به زمینه و قرارداد توجه شود. اغلب توپولوژیستها از اصطلاح «مسیر» به عنوان آنچه ما منحنی مینامیم و از «منحنی» به عنوان به عنوان آنچه ما تصویر مینامیم استفاده میکنند. درهندسه دیفرانسیل معمولا از اصطلاح «خم» استفاده میشود.
تصویر یک تابع: اگر f یک نگاشت، تابع یا تبدیل از دامنهٔ D به هم دامنهیY باشد. آنگاه تصویر f که گاه به آن برد f نیز گفته میشود مجموعهٔ مقادیری است که f با تغییر ورودیاش روی مقادیر D به دست میدهد. اصطلاح تصویر تابع در متون آکادمیک نسبت به برد ارجحیت دارد. تصویر تابع میتواند برای زیرمجموعههایی از دامنه نیز تعریف شود. [f[a,b بیانگر تصویر بازه ی [a,b] تحت تابع f است.
تصویر یک تابع زیر مجموعهای از هم دامنهی آن است.
در ابتدا سهمی ها را معرفی میکنیم. در متون علمی آمده است که:
منایخموس ریاضیدان یونانی باستان سهمی را جهت حل مسئله تضعیف مکعب (ساختن مکعبی که حجم آن دو برابر حجم یک مکعب مفروض است فقط با استفاده از خطکش و پرگار)، مورد مطالعه قرار داد.
اسحاق نیوتن در کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» نشان داد که اگر نیروی کشش میان اجسام آسمانی متناسب با معکوس مجذور فاصله بین آن دو باشد، اجرامی که به دور یک جرم بزرگ میگرداند، یا باید حرکت دایرهای، بیضوی، سهموی یا هذلولوی داشته باشند. نیوتن از سهمی برای محاسبه مدار شهاب سنگها استفاده کرد. امروزه میدانیم که اگر چه سهمی مدل خوبی برای حرکت شهاب سنگها میباشد ولی این مدل از دقت بالایی برخوردار نیست و به ندرت مدار شهاب سنگها با دقت بسیار بالایی سهموی میباشند.
گالیله نشان داد که وقتی جسمی را در هوا پرتاب میکنیم، مسیر حرکت آن سهموی میباشد. این موضوع زمانی صحت دارد که از مقاومت هوا و آثار چرخشی چشم پوشی شود.
نیوتن و گرگوری نشان دادند که هنگامی که نور به صورت موازی به یک آینه سهموی تابانده شود، پس از انعکاس در کانون آن جمع میشود.
پاسکال سهمی را تصویر یک دایره در نظر گرفت.
اقتصادیترین شکل پل کمانی در اغلب شرایط عملی سهمی میباشد.
منحنی سهمی – Partial curve
زمانی که شما به یک توپ فوتبال ضربه میزنید (یا تیری را از کمان رها کرده یا سنگی را به سمت آسمان پرتاب میکنید) پرتابه با طی کردن یک کمان به سمت بالا رفته و سپس سقوط میکند. مسیر پیمودهشده توسط پرتابه بخشی از یک منحنی سهمی میباشد.
تدریس خصوصی ریاضی
- تدریس خصوصی استاتیک ، ایستایی، مقاومت مصالح 1 و 2، طراحی اجزاء، ترمودینامیک، مکانیک سیالات، دینامیک، دینامیک ماشین، ارتعاشات، انتقال حرارت و ریاضی و فیزیک دبیرستان و دانشگاه - مدرس دانشگاه و مولف کتاب
تدریس خصوصی استاتیک، ایستایی، مقاومت مصالح 1 و 2، طراحی اجزاء، ترمودینامیک، مکانیک سیالات، دینامیک، دینامیک ماشین، ارتعاشات، انتقال حرارت و ریاضی و فیزیک دبیرستان و دانشگاه - مدرس دانشگاه و مولف کتاب
(تدریس خصوصی ارزان) تدریس خصوصی استاتیک، ایستایی، مقاومت مصالح 1 و 2، طراحی اجزاء، ترمودینامیک، مکانیک سیالات، دینامیک، دینامیک ماشین، ارتعاشات، انتقال حرارت و
تدریس خصوصی ریاضیات،مفهومی و تضمینی
تدریس مفهومی ریاضیات،تضمینی
توسط دانش آموخته دبیرستان تیزهوشان(سمپاد) و فارغ التحصیل ممتاز کارشناسی و کارشناسی ارشد از دانشگاه علم و صنعت ایران
سابقه تدریس ریاضیات دبستان،راهنمایی،دبیرستان، کنکور کارشناسی و کنکور کارشناسی ارشد در مدارس و موسسات برتر تهران
ریاضی عمومی1
ریاضی عمومی2
معادلات دیفرانسیل
ریاضیات مهندسی پیشرفته
ریاضیات گسسته
حسابان 1 و 2
ریاضیات پایه
هندسه پایه و تحلیلی
ریاضیات راهنمایی و دبستان
ریاضیات تیزهوشان و المپیاد
تدریس خصوص ریاضی در شیراز
تدریس خصوصی ریاضی فیزیک و شیمی مهندس هداوند کاملا مفهومی ساده و روان دارای مجوز رسمی از سازمان آموزش وپرورش کشور از0تا100ریاضیات، 0تا100فیزیک، 0تا100شیمی،ریاضی اول تادوازدهم،فیزیک و شیمی تمامی پایه ها
تدریس خصوصی ریاضی، فیزیک و شیمی دارای مجوز از سازمان آموزش و پرورش به روشی کاملا مفهومی ساده و روان در ریاضی فیزیک و شیمی بهترین باشید آموزش چگونگی ساخت ماشین های
تدریس ریاضی به صورت مفهومی (خصوصی و نیمه خصوصی)
تدریس گروهی در صورتیکه هزینه برای دانش آموزان سنگین باشد.
رفع اشکال اینترنتی در تلگرام و یا واتساپ
تدریس در قالب فایل های ویدئویی برای عزیزان شهرستانی
فیزیک دهم ، یازدهم ، دوازدهم، کنکور
ریاضی نهم، دهم، یازدهم ، دوازدهم
دروس پایه دانشگاهی رشته های فنی ( ریاضی مهندسی، معادلات دیفرانسیل، فیزیک مکانیک، استاتیک ، دینامیک، مکانیک سیالات)
مهندس مکانیک فارغ التحصیل دانشگاه سراسری
*هر جلسه ۹۰ دقیقه است.
سیستمهای خطی سیستمهایی هستند که عملکرد آنها به حالت آنها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، میتوانیم تمامی موقعیتهای آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمانهای مختلف بستگی ندارد.
سیستمهایی که در آنها یک رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار میشود، سیستمهای خطی به شمار میآیند. تکامل تدریجی سیستمهای دینامیکی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آنها نیز یک جواب برای سیستم است. هم چنین سیستمهای خطی از این قابلیت برخوردار هستند که آنها را میتوان با تجزیه مسئله به اجزا کوچکتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل کلی آنها اقدام کرد و این از جمله مواردی است که تحلیل سیستمهای خطی را آسان میسازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و …). در نهایت میتوان گفت که تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستمها شناخته شده است.
سیستمهای دینامیکی خطی، سیستمهای دینامیکی هستند که در آنها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستمهای دینامیکی به طور کلی راه حلهای فرم بسته ندارند اما سیستمهای دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستمهای خطی همچنین میتوانند برای درک رفتار کیفی سیستمهای دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.
سیستمهای دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستمهای غیرخطی به طور دقیق میتوان حل کرد. علاوه بر این، راه حلهای (تقریبی) هر سیستم غیرخطی میتواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستمهای خطی و راه حلهای آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستمهای غیرخطی پیچیده است.
«آشــوب» در لغت به معنای هرج و مرج و بینظمی است. ریشه لغوی آشوب به کلمه رومی «کائــوس» (Kaous) برمیگردد که مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اویــد» (Owid) میباشد. به نظر او کائوس، بینظمی و ماده بیشکل اولیه بود که دارای فضا و بعد نامحدودی بوده، به طوری که فرض شده است که قبل از این که جهان منظم شکل بگیرد، وجود داشته است که سپس خالق هستی، جهان منظم را از آن ایجاد نمود.
از لحاظ تاریخی پس از آن که قوانین نیوتــن در مورد حرکت ارائه شد، افــراد زیادی با تکیه بر قطعیت ذاتی این قوانین آنهــا را ماشین حساب خدا نامیدند و برای پیشگویی آینــده بر حسب مقادیر فعلی کافی دانستند؛ به طور کلی تصور بر این بود که اگر وضعیت فعلی را با دقت بالایی بدانیم میتوانیم آینــده را هم با همین دقت پیشگویی کنیم. این باور همچنان پا بر جا بود تا این که در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــری پوانکاره» در بــررسی و تلاش بــرای حل مسئله سه جسمی متــوجه شد در بعضی موارد اگر دقــت در شــرایط اولیه بالا باشد، لزوماً در نتــایج نهــایی عدم قطعیت ناچیز نیست و با کاهش عدم قطعیت در شــرایط اولیه لزوماً عدم قطعیت کاهش نمییابد. این مسئله نمودی از رفتــار آشــوبی بود که در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقریبــاً اولیــن تحقیقات عددیی که به معرفی فراگیر آشوب انجامید توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.
تاکنون تعریف کلی پذیرفته شده برای آشوب ارائه نشده است و تعریف زیر از جمله تعاریف پذیرفته شده مطرح میباشد:
« آشــوب، یک رفتــار طولانی مدت غیرپریــودیک در یک سیستم دترمینیســتیک است که وابستـگی حســاس به شــرایط اولیــه را نشان میدهد»
محیط عمل پدیده آشـوب، سیستمهای دینامیکی است. یک سیستم دینامیکی شامل یک فضای فــاز مجـرد یا حالت فازی است که مختصاتش، حالت دینامیکی سیستم را با بکارگیری قوانیــن دینامیکی مشخص میکند. یک سیستم دینامیکی میتواند منظم یا آشوبناک باشد. البته سیستــم منظم، خود ممکن است تنــاوبی یا شبه تنــاوبی باشد. سیستم تناوبی تنها شامل یک فرکانــس و هماهنگهای آن است و سیستم شبه تنــاوبی شامل چنــد فرکانس و هماهنگهای آن میباشد. در سیستم آشــوبی هیچ تنــاوب غالبی وجود ندارد یعنی این سیستــم دارای دوره تنــاوب بینهــایت است
یک جذب کننده مجموعهای از تمام مسیرهایی است که به سمت یک نقطه ثابت، حلقه محدود یا … همگرا میشوند. نوع دیگری از جذب کنندهها وجود دارند که آنها را جذب کنندههای عجیب(Strange attractors) مینامند. جذب کنندههای عجیب به شدت نسبت به شرایط اولیه حساس هستند و به آنها «عجیب» گفته میشود چون متشکل از مجموعهی فراکتال هستند.
از آنجا که توصیف سیستمهای دینامیکی گسسته در زمان با کمک نگاشتهای تکرار صورت میپذیرد، در این نوع سیستمها رابطه ای به صورت (xn+1=F(xn مابین نقاطی که سیستم انتخاب میکند وجود دارد که این نقاط با هم تشکیل یک مدار میدهند. بر این اساس منظور از نگاشت، یک رابطه تابعی است از F : R → R که R مجموعهای است از نقاط حقیقی که به وسیله آن مدار(O(x0 از نقاط x0 (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهی از نقاط تعریف میشود: (…,(O(x0)=(x0, F2(x0), F3(x0.
معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن (xn = Fn(x0، به صورت معادله (xn+1 = F(xn بیان میگردد. میتوان نگاشتها را براساس خطی بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) یا غیرخطی بودن (نگاشت لجستیک، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندی کرد.
نقاط ثابت در بررسی رفتار نگاشتها از اهمیت خاصی برخوردار است و براساس آن میتوان نحوه تحول سیستم را درک کرد. از دید هندسی نیز به این طریق میتوان نقطه ثابت را توصیف کرد که: «نقطه ثابت نقطهای است که از تقاطع خط y = x و منحنی (y = F(x به وجود میآید»
در سیستمهای دینامیکی، نقاط ثابت میتوانند خلق یا نابود شوند یا پایداری آنها تغییر کند یعنی تغییر ماهیت داده و از نوع جاذب به دافع ویا برعکس تبدیل شوند. شروع تغییرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگی گفته میشود. گذار به حالت دوشاخه شدگی با تغییر کمیتی به نام پارامتر کنترل دوشاخه شدگی (Bifurcation control parameter) صورت میگیرد.
برای ارائه مطالب کلی در مورد دوشاخه شدگی میتوان گفت که: اگر با تغییر پارامتر دوشاخه شدگی، ساختار هندسی فضای فاز دستخوش تغییر شود در این صورت دوشاخه شدگی رخ داده است. پارامتر کنترل میتواند مثبت، منفی یا صفر باشد. تغییر رفتار سیستمهای دینامیکی را می توان در سه گروه طبقه بندی کرد:
فضای فاز با کمک مکان (x1) و سرعت (x2) رسم میگردد، لذا میتوان گفت که مجموعه جوابهایی به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر یک نقطه در حال حرکت در روی منحنی (یعنی مسیر(Trajectory) سیستم) در این فضا خواهند بود.
باید دانست که به ازای شرایط اولیه متفاوت، فضای فاز کاملاً با مسیرها پوشانده شده لذا هر نقطهای را میتوان به عنوان نقطه اولیه در نظر گرفت. هدف ما این است که عکس این ساختار را طی کنیم یعنی مسیرها را رسم کرده و بدین وسیله اطلاعات مربوط به جوابها را استخراج نماییم.
فضای فاز مربوط به یک سیستم n ذرهای فضایی است متشکل از ۶n پایههای مختصاتی که ۳n پایه آن مربوط به مکان و ۳n پایه دیگر مربوط به اندازه حرکت است، پس هر نقطه در فضای فاز دارای ۶n مختصه میباشد که به تنهایی برای توصیف وضعیت سیستم کافی است. وجود ثوابت ابعاد فضای فاز را کاهش میدهد. از حرکت یک نقطه در فضای فاز مسیرهای فضای فاز پدید میآیند. در حالت کلی، مجموعه مسیرهای فضای فاز حجمی ۶n بعدی را در فضای فاز اشغال میکنند. البته باید دانست که به دلیل یکتایی حرکت ذره کلاسیکی، مسیرها در فضای فاز یکدیگر را قطع نمیکنند. در نتیجه میتوان گفت که فضای فاز مجموعهای از حالات ممکن یک سیستم دینامیکی است. یک حالت ویژه و مشخص در فضای فاز سیستم را به طور کامل مشخص میکند و این تمام آن چیزی است که در مورد شناخت کاملی از آینده نزدیک سیستم مورد نظر، مورد نیاز میباشد. به عنوان مثال، فضای فاز یک آونگ، صفحهای دو بعدی شامل موقعیت (زاویه) و سرعت است و مطابق با قوانین نیوتن تعیین این دو متغیر به طور مجزا، حرکت بعدی آونگ را در زمانهای بعدی مشخص میکند.
حال اگر یک سیستم غیرمستقل وجود داشته باشد که میــدان برداری آن (یک معادله دیفــرانسیل به عنوان یک میــدان برداری معرفی میشود) به طور صریح به زمــان بستگی داشته باشد، در آن صورت طبق تعــریف فضای فــاز باید زمان را به عنوان یک مختصه فضای فــاز در نظــر گرفت زیرا برای تعیین حرکت در زمان بعدی، یک زمان ویژه باید معلوم باشد. مسیــر در فضای فاز میتواند به صورت یک مدار و یا یک منحنی باشد در حالی که در سیستمی که نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت یک ســری از نقاط میباشد.
سیستمهای دینامیکی غیرخطی و حتی سیستمهای خطی گسسته، میتوانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیشبینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علیرغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیشبینی، آشوب خوانده میشود.
در سیستمهای دینامیکی غیرخطی رابطه میان سرعت و موقعیت غیرخطی میباشد. در چنین سیستمی اگر دو جواب داشته باشیم مجموع آنها جواب دیگر سیستم نمیباشد. سیستم دینامیکی غیرخطی را نمی توان به اجزا کوچکتر تقسیم نموده و هر یک را جداگانه حل کرد، بلکه باید کل سیستم را با هم و یکجا مطالعه و بررسی کرد (برای مثال، وقتی که قسمتهایی از یک سیستم تداخل میکنند یا با هم کار میکنند یک برهمکنش غیرخطی اتفاق میافتد و اصل برهم نهی شکست میخورد). پس میتوان گفت که معادلات مربوط به تحول در این سیستمها حل تحلیلی ندارند و یا حل تحلیلی آنها بسیار مشکل است. برای تجزیه و تحلیل چنین معادلاتی، دینامیک غیرخطی که در سه بعد منجر به آشوب میگردد مورد استفاده قرار میگیرد؛ از اینرو برای تحلیل سیستمهای غیرخطی آشنایی با یک سری مفاهیم اولیه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در یک بعد)، سیکلهای محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراکتالها یعنی اشکالی با ابعاد غیر صحیح (در سه بعد) لازم است. این مفاهیم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.
سیستمهای دینامیکی غیرخطی را میتوان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد:
در صورتی که تحول در سیستم نسبت به زمان به صورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل استفاده میشود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ میرا یا معادله گرما؛ اما اگر سیستم به صورت گسسته با زمان تحول یابد، به عبارت دیگر در صورتی که زمان به عنوان عامل جداگانهای در نظر گرفته شود سیستم در قالب نگاشتهای تکرار(Iterated maps) مطالعه میگردد، مانند نگاشت لجستیک (Logistic map).
مطالعه سیستمهای دینامیکی غیرخطی هم اکنون سرلوحه مطالعات در بسیاری از علوم از جمله در: فیزیک، نجوم، ریاضیات، بیولوژی، شیمی، اقتصاد، علوم کامپیوتر، هواشناسی و علوم پزشکی میباشد.
۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونهای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ ۷- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس
سیستمهای دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف میشوند که معمولاً زمان است. سیستمهای تعمیم یافتهتر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این روی، سیستمهای چند بعدی خوانده میشوند. چنین سیستمهایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.
بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمیباشند. نظریه سیستمهای پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدلسازی از سیستمهای پیچیده در بسیاری از رشتهها مانند هواشناسی، زمینشناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهوارهای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهانشناسی کاربرد دارد. سیستمهای پویا بخش اساسیِ نظریهی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.