آموزش ریاضی پایه دانشگاهی - فرادرس
با تغییر هدف آموزش ریاضی ، ضرورت آموزش ریاضی برای همگان درک شد. برای کمک به درک بهتر از مسائل، باید ریاضیات به صورت یک کل، آموزش داده شود. متأسفانه در ...
آموزش ریاضی و تدریس ریاضی بصورت آنلاین و حضوری انجام می شود برای آشنایی فیلم های آموزش ریاضی و تدریس هایی که انجام شده را می توانید مشاهده کنید. فیلم مربوط ...
در این فرادرس می خواهیم بحث آنالیز ترکیبی و احتمالات را در قالب یک آموزش مدون ارائه کنیم. اهمیت این موضوع در رشته های فنی و مهندسی بخصوص مهندسی صنایع، مهندسی برق و کامپیوتر مشهود است. در این آموزش بر اساس چندین کتاب معروف از جمله کتاب احتمالات شلدون راس (Sheldon Ross) و بخش اول کتاب احتمال، متغیرها و فرایندهای تصادفی پاپولیس و پیلای تمرینات مهمی حل خواهد شد. لازم به ذکر است که سطح آموزش طوری است که برای تمامی طیف ها (دانشجویان و داوطلبان کنکور کارشناسی ارشد) مفید می باشد.
آموزش ریاضیات مهندسی (مرور - تست کنکور ارشد)
مدرس: مهندس سجاد داوطلب
در این فرادرس سعی شده مطالب به صورت پیوسته و کلی آورده شود تا دانشجویان در هنگام جمع بندی مطالب و یا آماده شدن برای آزمون های ارشد یا دکتری به تسلط کامل برسند. این فرادرس برای تمامی رشته های مهندسی از جمله برق، مکانیک، کامپیوتر و …. مفید می باشد. همچنین، در کنار اشاره به مباحث تئوری، بررسی تست های کنکور کارشناسی ارشد و دکترای تخصصی از سال ۸۵ تا ۹۶ به صورت گام به گام انجام شده است.
آموزش آمار و احتمال مهندسی (حل تمرین و تست کنکور ارشد)
آموزش توابع مختلط (Complex Functions)
مدرس: آسیه صفامنش
هدف از ارائه این فرادرس، آموزش کامل و مفهومی درس توابع مختلط است که یکی از دروس پایه ای رشته ریاضیات و نیز از مهم ترین دروس ریاضی عمومی کلیه شاخه های مهندسی به حساب می آید. بدین جهت که امروزه در دنیای علوم مادی و فضایی، دانشمندان میل و رغبت زیادی به حل مسائل با استفاده از روش های دقیق تر و سریع تر دارند، اهمیت مباحث ارائه شده در این آموزش بر کسی تدریس خصوصی ریاضی در شیراز پوشیده نیست. کافی است به مقالات متعدد نگاشته شده در مجلات علمی و به روز دنیا مراجعه نماییم تا بیش از پیش به ضرورت فراگیری کامل توابع مختلط و به کار گیری آن در پیشبرد اهداف عالیه علمی و حتی نگاشتن مقالات معتبر با به کارگیری این توابع پی ببریم.
مدرس: مهندس منوچهر بابایی
در این آموزش، سعی بر آن داریم تا مجموعه بزرگی از سوالات آمار و احتمال مشتمل بر تمرینات کتاب های مهم کنکورهای کارشناسی ارشد را حل کنیم. این مجموعه برای دانشجویان کارشناسی رشته های: مهندسی کامپیوتر، مهندسی فناوری اطلاعات، علوم کامپیوتر و مهندسی برق منبع بسیار مفیدی خواهد بود تا بتوانند با انواع مسائل درس آمار و احتمالات مهندسی آشنا شده و مرور ارزشمندی بر کلیه مطالب کتاب داشته باشند.
آموزش جبر خطی با متلب
مدرس: مهندس ایمان صفری
در این آموزش قصد داریم ابتدا به تعاریف پایه ای ماتریس ها و خواص آن ها بپردازیم و با فضاها و زیرفضاهای برداری آشنا شویم. پس از آن به حل مساله حداقل مربعات می پردازیم. در نهایت نیز با تعاریف مقادیر، بردارهای ویژه و مقادیر منفرد ماتریس ها آشنا خواهیم شد.
آموزش برنامه نویسی ماشین حساب مهندسی با نرم افزار شبیه ساز CASIO
مدرس: مهندس محمدرضا بابادایی سامانی
ماشین حساب های مهندسی با قابلیت برنامه نویسی، ابزاری در دسترس، برای اجرای روند محاسباتی پیچیده و طولانی هستند. هدف از این فرادرس، افزایش توانایی مهندسین در استفاده از ماشین حساب های مهندسی و همچنین آموزش نحوه انجام محاسبات طولانی و چرخه ای مهندسی با استفاده از قابلیت برنامه نویسی این ماشین حساب ها است. بدین منظور، ابتدا توضیحات کلی درباره انواع تدریس خصوصی ریاضی ماشین حساب های مهندسی متداول ارائه شده است و قابلیت آن ها تشریح می گردد و قسمت های مختلف ماشین حساب به صورت کلی مورد بررسی قرار می گیرد. در قسمت بعد، نحوه شروع به کار با قسمت برنامه نویسی توضیح داده می شود و سپس روند ایجاد یک برنامه و نحوه استفاده از دستورات محاسباتی و توابع مختلف موجود در ماشین حساب آموزش داده خواهد شد همچنین در پایان هر قسمت نیز مثال هایی کاربردی از برنامه نویسی در ماشین حساب مهندسی آورده شده است.
آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد
مدرس: مهندس سجاد جودکی
معادلات دیفرانسیل یکی از دروس پرکاربرد در بسیاری از رشته ها است و تاکنون انواع مختلفی از این معادلات معرفی شده که می توان گفت در هر رشته، معادلات دیفرانسیل خاصی مدنظر بوده و لازم است تا دانشجویان راه حل آن ها را فراگیرند. به عنوان مثال می توان رشته مهندسی برق مخابرات را در نظر گرفت. کاربرد معادلات دیفرانسیل در این رشته بسیار کم و ممکن است در هیچ مساله ای با معادلات دیفرانسیل رو به رو نشویم اما در رشته ای مانند مهندسی مکانیک به منظور تحلیل دینامیک و ارتعاشات سیستم ها و صفحات لازم است تا دانشجویان این رشته با چندین نوع از معادلات دیفرانسیل آشنا بوده و توانایی اضافه و کم کردن عبارت های مرتبه n ام دیفرانسیلی و تبدیل معادلات از حالتی به حالت دیگر را داشته باشند.
آموزش ریاضی عمومی ۲ (مرور و حل تمرین)
مجموعه آموزش های معادلات دیفرانسیل به همراه حل نمونه سئوالات آزمون کارشناسی ارشد
مدرس: دکتر سید مصطفی کلامی هریس
در مجموعه فرادرس های آموزش معادلات دیفرانسیل، با شروع از مبانی درس معادلات دیفرانسیل و مقدمه چینی های نظری لازم، به صورت کاملا نظام مند، مباحث درس معادلات دیفرانسیل (در حدی که در مقطع کارشناسی و در دانشگاه های ایران معمول و مرسوم است) به همراه جزئیات کامل تئوری، با بیان گام به گام و توام با حل مثال ها و مسائل نمونه، مورد بحث و بررسی واقع شده است. در پایان، با حل نمونه سوال هایی از آزمون کارشناسی ارشد که مربوط به درس معادلات دیفرانسیل هستند، هم بر روی مباحث مطرح شده، مروری کامل و عملی انجام شده است و هم تکنیک های حل مسائل نیز، بررسی شده اند.
آموزش محاسبات سریع ریاضی
مدرس: فرشته دستمالچی ساعی
در این آموزش به بیان تکنیک هایی پرداخته شده است که با یادگیری آن ها می توان سرعت انجام عملیات ریاضی را افزایش داد. این افزایش سرعت در حل تمرین برای کسب موفقیت در آزمون ها می تواند مفید باشد و علاوه بر آن، شما را از ماشین حساب بی نیاز کند یا در آزمون هایی که اجازه استفاده از ماشین حساب را ندارید، به شما کمک کند. مطالبی را که در این فرادرس جمع آوری کرده ایم به صورت پراکنده در منابع داخلی و خارجی وجود دارند و اکنون با حل مثال های گوناگون در اختیار مخاطبین قرار می گیرند.
مدرس: مهندس امید زندی
ریاضی عمومی ۲، جزو پایه ای ترین دروس مقطع کارشناسی تمام گرایش های مهندسی است. در این درس، در ابتدا به جبرخطی و سپس در ادامه آن در درس دوم به هندسه تحلیلی پرداخته می شود. در درس سوم، آنالیز برداری کلاس خصوصی ریاضی و در درس های چهارم تا هفتم آنالیز توابع چند متغیره ارائه می شود. در این درس ها توابع چند متغیره از جنبه های حد، مشتق و انتگرال، مورد بررسی قرار می گیرند. در درس هشتم انتگرال منحنی ها و کاربردهای آن ها و در نهایت، در درس آخر، انتگرال رویه ها و قضایای استوکس (Stokes) و گاوس (Gauss) معرفی می شوند. روش آموزش این فرادرس، کاملا مساله محور است و فقط از طریق حل مساله های مختلف امتحانی و کنکوری، ریاضی عمومی ۲ آموزش داده می شود.
مدرس: مهندس فرشید شیرافکن
در گذشته، فرض بر این بود که ریاضیات برای گروه خاصی از افراد جامعه است و ریاضیات را همه نمی توانند یاد بگیرند. با تغییر هدف آموزش ریاضی،
ضرورت آموزش ریاضی برای همگان درک شد. برای کمک به درک بهتر از مسائل، باید ریاضیات به صورت یک کل، آموزش داده شود. متأسفانه در دروس آکادمیک، ریاضیات را به صورت یک جزء به ما آموخته اند و صورت کلی از ریاضی در ذهن اکثر دانشجویان نقش نبسته است. بعد از یادگیری مفاهیم پایه در این آموزش می توان به یادگیری مفاهیم موجود در ریاضی ۱ مانند حد و پیوستگی، مشتق، انتگرال، دنباله و سری و اعداد مختلط پرداخت. این آموزش برای دانشجویان پیام نور نیز مناسب ارزیابی می شود.
لیست مقالات، جزوات، نمونه سوالات و نرم افزارهای مرتبط که درآینده نزدیک در وبسایت بارگزاری خواهد شد
حد و پیوستگی، مشتق وقواعد مشتق گیری، آمار و احتمال، توابع: جزء صحیح- نمایی- لگاریتمی و...، معادلات و نامعادلات، دنباله‌ها(فیبوناتچی، حسابی، هندسی و...)، مثلثات شامل(نسبت‌های مثلثاتی، روابط بین نسبت‌های مثلثاتی، نمودار توابع مثلثاتی، معادلات مثلثاتی و...)، نمونه سوالات مبحث بردارها، نمونه سوالات امتحانات نهایی نوبت اول و دوم پایه های تحصیلی(دبستان- متوسطه اول- متوسطه دوم) به همراه پاسخنامه تشریحی، نمونه سوالات نوبت شهریور ماه پایه های مختلف تحصیلی به همراه پاسخنامه تشریحی، سوالات کنکورهای تجربی- ریاضی- انسانی و فنی در سال های مختلف به همراه پاسخنامه تشریحی، ماشین حساب آنلاین، رسم آنلاین نمودار توابع
تدریس ریاضی پایه اول تا ششم ابتدایی
آموزش و تدریس ریاضی در مقطع دبستان با استفاده از روش های (سخنرانی- نمایشی- یادگیری اکتشافی- پرسش و پاسخ- سمعی و بصری) در کلاس توسط معلمانی دانا، با مهارت، مهربان
آموزش کامل و تدریس ریاضی دوره اول و دوم متوسطه نظام جدید
آموزش و تدریس ریاضی به صورت خصوصی و گروهی ویژه دانش آموزان مقطع اول و دوم متوسطه نظام جدید (مقطع راهنمایی و دبیرستان نظام قدیم).
برگزاری کلاس رفع اشکال، کلاس تقویتی، کلاس خصوصی ویژه استعدادهای درخشان، کلاس های آمادگی ویژه کنکوری های سال ۹۹ ، مرور مفاهیم و سر فصل های اصلی، کلاس تقویتی ویژه المپیاد ریاضی، حل تمرین کلیه دروس ریاضی در پایه های مختلف متوسطه اول و دوم
تدریس کلیه دروس ریاض مقطع اول و دوم متوسطه شامل:
کتاب ریاضی هفتم، ریاضی هشتم، ریاضی نهم، ریاضی۱ (دهم تجربی – دهم ریاضی)، هندسه۱ (دهم ریاضی)، ریاضی۱ (دهم هنرستان)، ریاضی و آمار۱ (دهم ادبیات و علوم انسانی- دهم علوم و معارف اسلامی)، حسابان۱ (یازدهم ریاضی)، هندسه۲ (یازدهم ریاضی)، ریاضی۲ (یازدهم تجربی)، ریاضی و آمار۲ (یازدهم ادبیات و علوم انسانی- یازدهم علوم و معارف اسلامی)، آمار و احتمال (یازدهم ریاضی)، هندسه۳ (دوازدهم ریاضی)، حسابان۲ (دوازدهم ریاضی)، ریاضیات گسسته (دوازدهم ریاضی)، ریاضی و آمار۳ (دوازدهم ادبیات و علوم انسانی- دوازدهم علوم و معارف اسلامی)، ریاضی۳ (دوازدهم تجربی)
آموزش تست زنی، مشاوره و تدریس خصوصی و گروهی ریاضی ویژه کنکوری ها
مشاوره، برنامه ریزی، آموزش روش های تست زنی، کلاس رفع اشکال ویژه کنکوری های سال99- بررسی، تجزیه و تحلیل و حل نمونه سوالات کنکور دانشگاه های سراسری و آزاد رشته های ریاضی فیزیک، علوم تجربی، علوم انسانی- بررسی و حل نمونه سوالات 10 سال کنکور
تدریس ریاضیات دانشگاهی
ریاضی عمومی۱و۲- ریاضی مهندسی- مبانی ریاضیات- معادلات دیفرانسیل- مبانی ماتریس‌ها و جبر خطی- توپولوژی عمومی- تحقیق در عملیات- آمار واحتمال، حد و پیوستگی، مشتق وقواعد مشتق گیری، آمار و احتمال، توابع: جزء صحیح- نمایی- لگاریتمی و...، معادلات و نامعادلات، دنباله‌ها(فیبوناتچی، حسابی، هندسی و...)، مثلثات شامل(نسبت‌های مثلثاتی، روابط بین نسبت‌های مثلثاتی، نمودار توابع مثلثاتی، معادلات مثلثاتی و...)، حجم های هندسی، تقسیم بندی اعداد
از آنجایی که ریاضی یکی از مهم ترین دروس دوران مدرسه و همچنین درس مشترک بین تمامی رشته های دوره‌ی متوسطه دوم و نیز یکی از دروس پایه برای بسیاری از رشته‌های دانشگاهی است بهتر است در شیوه‌ی آموزش ریاضی بهترین مسیرها را انتخاب نمود. در این درس مباحث بسیار گسترده است و طبیعتا تسلط بر تمامی مباحث (در سطح دانشگاهی) سخت و در صورت امکان، بازده بهتری نسبت به تخصص در هر گرایش نخواهد داشت. اما، (درسطح متوسطه و دبستان) یک معلم موفق باید بر تمامی مباحث برای تدریس ریاضی مسلط باشد. مفاهیم درس ریاضی از طریق تکرار و تمرین در ذهن می ماند. بعد از چند جلسه تدریس ریاضی باید برای ارزیابی شاگرد، آزمون به صورت شفاهی و کتبی گرفته شود. معلم نبایست خود را در سطح شاگردان پایین بیاورد اما بهتر است از دیدگاه شاگرد به مسائل مختلف ریاضی نگاه کند تا اشکالات و یا پیشنهادات و نکات خوب ذهنی شاگرد را دریابد.
صلاحیت حرفه ای معلمان
داشتن دانش مرتبط با بهبود و یادگیری دانش آموز
توانایی استفاده از راهبردهای چندگانه ی آموزشی
داشتن مهارت های اداره ی کلاس و ایجاد انگیزه در دانش آموزان
داشتن مهارت های ارتباطی
داشتن مهارت در برنامه ریزی آموزشی
ارزیابی یادگیری دانش آموزان
مسئولیت پذیری و تعهد حرفه ای
فعالیت گروهی
آگاهــی از انتظارهــا، برنامه هــای درســی رایــج و الزامــات آموزشی
ترویــج رفتارهــا، نگرش هــا و ارزش هــای مثبــت در بیــن دانش آموزان
درک مســئولیت ها و دانستن روش کسب کمک و مشاوره از افراد متخصص
مشخص کردن هدف های یادگیری - یاددهی که مرتبط با همه ی دانش آموزان کلاس است
اســتفاده ی مؤثراز فناوری اطلاعات و ارتباطات درآموزش موضوع درسی و درحمایت از نقش گسترده تر حرفه ای خود
اســتفاده از هدف های یاددهی– یادگیری برای برنامه ریزی درس هــا، توالی درس ها و نشــان دادن اینکــه چگونه یادگیری دانش آموزان را اندازه می گیرند
شناســایی و پشــتیبانی دانش آموزان توانمند و کسانی که کمتر از انتظارات وابسته به سن کار می کنند
توانایی اســتفاده از ســوابق به عنوان پایــه ای برای ارائه ی گــزارش در مورد پیشــرفت دانش آموزان (به صورت شــفاهی و کتبــی) به طور مختصــر و اطلاع رســانی به والدیــن، صاحبان حرفه و دیگر افراد مرتبط
سازمان دهی، مدیریت و استفاده ی مؤثر و درست از زمان تدریس و یادگیری
توجــه بــه تفاوت هــا در تجربه هــا، انگیزه هــا و پیشــرفت تحصیلی بین دختران و پســران و در نظر گرفتن فرهنگ های متفــاوت و گروه هــای قومی دانش آمــوزان به منظــور کمک به پیشرفت صحیح و مناسب آن ها
آمــوزش درس هــای ســاختار یافتــه و توالــی کار خود به روشنی؛ به نحوی که موجب علاقه و تحریک دانش آموزان شود
داشــتن انتظــارات بــالا از دانش آموزان و برقــراری ارتباط موفق با آن ها با محوریت یاددهی – یادگیری
بازشناســی و ارائه ی بازخورد مؤثر به فرصت های آموزشی که در کلاس درس به وجود می آید، شامل مبارزه با دیدگاه های کلیشــه ای، مبارزه و مقابله بــا زورگیری و آزار رســانی از طریق خط مشی ها و رویه های مناسب
مدیریت بر کار دســتیار معلمان و دیگر بزرگ سالانی که به بهبود یادگیری بزرگ سالان کمک می کنند
توانایی ارائه ی تکلیف و فعالیت های خارج از مدرسه ای که به تعمیق مطالب آموزش داده شده در کلاس درس کمک می کند
استفاده ی مناسب از طیف وسیعی از راهبردهای کنترل و ارزیابی برای سنجش پیشرفت دانش آموزان در جهت هدف های یادگیــری برنامه ریزی شــده و اســتفاده از این اطلاعــات برای ارتقای برنامه ریزی و تدریس خود
ثبت نظام مند پیشــرفت ها و دســتاوردهای دانش آموزان با ارائه ی شــواهد گسترده ای از کار، پیشرفت و موفقیت آن ها در طول زمان (این کار به دانش آموزان در بررســی پیشرفت خود و به آموزگار در برنامه ریزی کار خود کمک می کند.)
ابتــکار عمل بــرای هم گامــی با رونــد آموزش و پــرورش در موضوع تدریس خود
مشــارکت و کمک به گروه های آموزشــی به شیوه ی آموزش ریاضی شیراز مناسب در مواقــع لــزوم و برنامه ریزی بــرای به کارگیری والدین، بیشــتر به منظور حمایت از یادگیری دانش آموزان
ارتبــاط مؤثــر بــا والدیــن و صاحبان مشــاغل بــرای تعیین مسئولیت ها، علایق و حقوقی که در یادگیری دانش آموزان دارند
در میان گذاشتن ارزش ها با دانش آموزان
در نظر گرفتن والدین به عنوان همکاران آموزشی
ترغیب درگیری والدین در فرایند آموزش
داشــتن تمایل و اشــتیاق بــه یادگیــری از همــکاران برای دستیابی به اهداف کار خود
مجموعه فیلم‌های آموزشی ریاضی پایه دانشگاهی، با تدریس مهندس فرشید شیرافکن، با بررسی کامل مباحث درسی و حل سئوالات کنکور.
آموزش ریاضیات عمومی ۱
مدرس: دکتر بهمن معینی
بدون شک در طی دو قرن اخیر پیشرفت سریع دانش و صنعت مرهون گسترش دانش ریاضی است و ریاضیات عمومی نقش مهمی در دانش ریاضی ایفا می کند، طوری که بدون فهم و آشنایی با مباحث ریاضی عمومی، نمی توان سایر علوم ریاضی یا دروس مربوطه که شامل مفاهیم ریاضی عمومی بوده و در اکثر رشته های دانشگاهی وجود دارد، را فرا گرفت. به عنوان مثال بحث انتگرال ها یکی از موارد پرکاربرد در سایر علوم است و در دروس فیزیک، معادلات دیفرانسیل و مدارهای الکتریکی بکار می رود.
آموزش ریاضی عمومی ۲
مدرس: ریحانه محمدی نژاد
درس ریاضی عمومی ۲، بخشی از واحدهای الزامی دانشگاهی در مقطع کارشناسی است که پس از گذراندن درس ریاضی عمومی ۱ باید طی شود. تمام دانشجویان رشته های مهندسی اعم از: برق، عمران، کامپیوتر، معماری و علوم مختلف پایه، باید این درس را بگذرانند. در این آموزش از مثال هایی در مورد توابع مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی استفاده شده است که دانشجویان واقعا با این توابع مشکل دارند. همچنین مخاطبان عزیز برای تمرینات بیشتر می توانند از آموزش ریاضی عمومی ۲ (مرور و حل تمرین) نیز استفاده کنند.
آموزش ریاضی عمومی ۱ (همراه با حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد)
مدرس: مهندس فرشید شیرافکن
یکی از دروس پایه ای همه رشته های مهندسی، درس ریاضی ۱ است. قبل از مطالعه این درس باید با مفاهیم ریاضی پایه مانند مجموعه ها، اتحادها، چند جمله ای، تابع درجه ۲، مثلثات، تابع و انواع تابع آشنا بود. در این فرادرس ابتدا به حد و پیوستگی می پردازیم و سپس درس را با معرفی مشتق و انتگرال و کاربردهای آن ادامه می دهیم. در نهایت مختصات قطبی، اعداد مختلط و دنباله و سری آموزش داده می شود.
آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)
مدرس: مهندس فرشید شیرافکن
هدف از آموزش مجموعه تست های ریاضی پایه، آماده سازی داوطلبان کنکور کارشناسی و کارشناسی ارشد است. همچنین برای افرادی که در کنکورهای استخدامی شرکت می‌کنند، مفید است. اهمیت این آموزش این است که با یادگیری روش های تست زنی، تسلط بیشتری به مطالب آموزش داده شده در فرادرس ریاضی پایه که قبل از این آموزش تهیه شده است، پیدا خواهد شد. مسیر ارائه این این آموزش به این صورت است که تست های هر مبحث به صورت دسته بندی شده بررسی می شوند. این تست‌ها شامل تست های تألیفی، تست های کنکور سراسری، کاردانی به کارشناسی و کارشناسی ارشد می باشد.
آگوست فردیناند موبیوس (August Ferdinand Möbius) در روز ۱۷ نوامبر ۱۷۹٠ در شهر زاکسن به دنیا آمد. وی ریاضی‌دان و ستاره شناس مشهور آلمانی است. بیشتر شهرت او به دلیل کشف نوار موبیوس است. نوار موبیوس نواری است که دو لبه آن بر هم قرار گرفته و حلقه‌ای را به وجود می‌آورد؛ البته باید یک لبه انتهایی قبل از اتصال به لبه دیگر نیم دور چرخانده شود. این نوار را دو ریاضی‌دان آلمانی به نام‌های آگوست فردیناند موبیوس و جان بندیکت (Johann Benedict) در سال ۱۸۵۸ به طور مستقل و جداگانه کشف کردند و به ثبت رساندند.
ابتدایی‌ترین راه برای ایجاد این نوار، انتخاب یک نوار مستطیل شکل و نرمی است که آن را یک بار می‌پیچانیم و سپس دو انتهای آن را به هم متصل می‌کنیم. سطحی که به این ترتیب به دست می‌آید «نوار موبیوس» نامیده می‌شود.
این سطح تنها یک رو دارد. به بیان دیگر، یک صفحه کاغذی را میتوان با دو رنگ گوناگون در دو طرف آن رنگ کرد اما نوار موبیوس را با این روش نمی‌توان با دو رنگ مختلف رنگ کرد. در صورت اقدام به چنین کاری به همان جایی که رنگ کردن را در ابتدا آغاز کرده بودیم، می‌رسیم؛ در حالی که در طرف دیگر نوار هستیم! پس نوار موبیوس، سطحی است که یک رو دارد و حرکت ما روی آن تا بینهایت بار تکرار می شود.
دلیل «یک رویه بودن» این نوار آن است که در هر نقطه a از نوار موبیوس میتوان دو بردار با جهت‌های مختلف رسم کرد که بر نوار موبیوس در این نقطه عمود باشد. این بردارها را قائم‌های نوار موبیوس در نقطه a می‌نامیم. یکی از این بردارها را انتخاب و نقطه a را به تدریج روی نوار موبیوس جابجا می‌کنیم. در این صورت بردار ما هم همراه با نقطه a جابجا می‌شود. بنابراین، روی نوار موبیوس چنان مسیر بسته‌ای وجود دارد که اگر قائمی این مسیر را روی سطح بپیماید، به جای این که به وضع نخستین خود برسد، روی برداری که در جهت مخالف وضع نخستین آن است قرار می‌گیرد.
مرزِ یک ناحیه، خط جدا کننده آن ناحیه از ناحیه دیگر است. در ریاضیات برای یک سطح سه مفهوم تعریف می شود:
۱- نقطه داخلی: نقطه ای که بتوان آن را داخل یک دایره روی سطح محصور کرد.
۲- نقطه خارجی: نقطه ای است که بتوانیم دایره ای حول آن رسم کنیم که متعلق به آن سطح نباشد.
۳- نقطه مرزی: نقطه ای است که هر دایره ای حول آن رسم شود، قسمتی از آن متعلق به سطح و قسمت دیگر آن متعلق به خارج آن سطح باشد.
با این تعریف نوار موبیوس فقط یک مرز دارد. یعنی با یک بار حرکت در کرانه‌های انتهای نوار تمام مرز آن را می توانیم طی کنیم.
اگر با یک خودکار بر روی نوار موبیوس خطی در طول نوار بکشیم و ادامه دهیم این خط دوباره به نقطه شروع باز می‌گردد و هر دو طرف نوار خط کشیده می‌شود! در واقع، نوار موبیوس مثالی از یک رویه بدون جهت (جهت ناپذیر) است. یعنی نوار موبیوس سطحی است که یک رو دارد. نوار موبیوس خواص غیرمنتظره دیگری نیز دارد؛ برای نمونه، هرگاه بخواهیم این نوار را در امتداد طولش بِـبُریم به جای این که دو نوار به دست بیاوریم، یک نوار بلندتر و با دو چرخش به دست می آوریم! همچنین با تکرار دوباره این کار دو نوار موبیوس در هم پیچ خورده به دست می‌آید. با ادامه این کار یعنی بریدن پیاپی نوار، در انتهای کار تصاویر غیرمنتظره‌ای ایجاد می‌شود که به حلقه‌های پارادرومیک (paradromic rings) موسومند. همچنین اگر این نوار را از یک سوم عرض نوار ببریم، دو نوارِ موبیوس در هم گره شده با طولهای متفاوت به دست خواهیم آورد. تمامی این کارها به آسانی قابل اجراء هستند.
خاصیت موبیوسی: خاصیتی است که رابطه بین «درون» و «بیرون» را وارونه می‌کند. یعنی هر نقطه از یک سطح موبیوسی در عین حال که درون است، بیرون نیز می‌باشد! بنابراین در یک تغییر پیوسته، نوعی دگرگونی در ماهیت یک فضا صورت می‌گیرد. در واقع در این حالت فضا خاصیت دو گانه اما پیوسته پیدا می‌کند. خاصیت موبیوس که گذر از درون به برون و از برون به درون را ممکن می‌کند، کمابیش توانسته است بر فراز شکاف حاصل از دوگانگی (ثنویت) پلی بزند (شایگان،۱۳۸٠). بنابراین، فضای ِمیان «برون و درون»، «پیوستگی» و «تکرار» با یک تعریف ریاضی به یک سطح هندسی تبدیل می‌شود. سطحی که بر آن در هر لحظه ای هم داخل و هم خارج فضا هستیم. این ویژگی در طراحی معماری مورد توجه قرار گرفته است
سیستمهای خطی سیستم‌هایی هستند که عملکرد آنها به حالت آنها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، می‌توانیم تمامی موقعیت‌های آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمان‌های مختلف بستگی ندارد.
سیستم‌هایی که در آنها یک رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار می‌شود، سیستمهای خطی به شمار می‌آیند. تکامل تدریجی سیستمهای دینامیکی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آنها نیز یک جواب برای سیستم است. هم چنین سیستمهای خطی از این قابلیت برخوردار هستند که آنها را میتوان با تجزیه مسئله به اجزا کوچکتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل کلی آنها اقدام کرد و این از جمله مواردی است که تحلیل سیستمهای خطی را آسان می‌سازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و …). در نهایت میتوان گفت که تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستم‌ها شناخته شده است.
سیستمهای دینامیکی خطی، سیستمهای دینامیکی هستند که در آنها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستمهای دینامیکی به طور کلی راه حل‌های فرم بسته ندارند اما سیستمهای دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستمهای خطی همچنین می‌توانند برای درک رفتار کیفی سیستمهای دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.
سیستمهای دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستمهای غیرخطی به طور دقیق میتوان حل کرد. علاوه بر این، راه حل‌های (تقریبی) هر سیستم غیرخطی می‌تواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستمهای خطی و راه حل‌های آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستمهای غیرخطی پیچیده است.
«آشــوب» در لغت به معنای هرج و مرج و بی‌نظمی است. ریشه لغوی آشوب به کلمه رومی «کائــوس» (Kaous) برمی‌گردد که مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اویــد» (Owid) می‌باشد. به نظر او کائوس، بی‌نظمی و ماده بی‌شکل اولیه بود که دارای فضا و بعد نامحدودی بوده، به طوری که فرض شده است که قبل از این که جهان منظم شکل بگیرد، وجود داشته است که سپس خالق هستی، جهان منظم را از آن ایجاد نمود.
از لحاظ تاریخی پس از آن که قوانین نیوتــن در مورد حرکت ارائه شد، افــراد زیادی با تکیه بر قطعیت ذاتی این قوانین آنهـ‌ـا را ماشین حساب خدا نامیدند و برای پیش‌گویی آینــده بر حسب مقادیر فعلی کافی دانستند؛ به طور کلی تصور بر این بود که اگر وضعیت فعلی را با دقت بالایی بدانیم می‌توانیم آینــده را هم با همین دقت پیش‌گویی کنیم. این باور هم‌چنان پا بر جا بود تا این که در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــری پوانکاره» در بــررسی و تلاش بــرای حل مسئله سه جسمی متــوجه شد در بعضی موارد اگر دقــت در شــرایط اولیه بالا باشد، لزوماً در نتــایج نهــایی عدم قطعیت ناچیز نیست و با کاهش عدم قطعیت در شــرایط اولیه لزوماً عدم قطعیت کاهش نمی‌یابد. این مسئله نمودی از رفتــار آشــوبی بود که در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقریبــاً اولیــن تحقیقات عددیی که به معرفی فراگیر آشوب انجامید توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.
تاکنون تعریف کلی پذیرفته شده برای آشوب ارائه نشده است و تعریف زیر از جمله تعاریف پذیرفته شده مطرح می‌باشد:
« آشــوب، یک رفتــار طولانی مدت غیرپریــودیک در یک سیستم دترمینیســتیک است که وابستـگی حســاس به شــرایط اولیــه را نشان می‌دهد»
محیط عمل پدیده آشـوب، سیستمهای دینامیکی است. یک سیستم دینامیکی شامل یک فضای فــاز مجـرد یا حالت فازی است که مختصاتش، حالت دینامیکی سیستم را با بکارگیری قوانیــن دینامیکی مشخص می‌کند. یک سیستم دینامیکی می‌تواند منظم یا آشوبناک باشد. البته سیستــم منظم، خود ممکن است تنــاوبی یا شبه تنــاوبی باشد. سیستم تناوبی تنها شامل یک فرکانــس و هماهنگ‌های آن است و سیستم شبه تنــاوبی شامل چنــد فرکانس و هماهنگ‌های آن می‌باشد. در سیستم آشــوبی هیچ تنــاوب غالبی وجود ندارد یعنی این سیستــم دارای دوره تنــاوب بینهــایت است
یک جذب کننده مجموعه‌ای از تمام مسیرهایی است که به سمت یک نقطه ثابت، حلقه محدود یا … همگرا می‌شوند. نوع دیگری از جذب کننده‌ها وجود دارند که آنها را جذب کننده‌های عجیب(Strange attractors) می‌نامند. جذب کننده‌های عجیب به شدت نسبت به شرایط اولیه حساس هستند و به آنها «عجیب» گفته می‌شود چون متشکل از مجموعه‌ی فراکتال هستند.
از آنجا که توصیف سیستمهای دینامیکی گسسته در زمان با کمک نگاشت‌های تکرار صورت می‌پذیرد، در این نوع سیستم‌ها رابطه ای به صورت (xn+1=F(xn مابین نقاطی که سیستم انتخاب می‌کند وجود دارد که این نقاط با هم تشکیل یک مدار می‌دهند. بر این اساس منظور از نگاشت، یک رابطه تابعی است از F : R → R که R مجموعه‌ای است از نقاط حقیقی که به وسیله آن مدار(O(x0 از نقاط x0 (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهی از نقاط تعریف می‌شود: (…,(O(x0)=(x0, F2(x0), F3(x0.
معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن (xn = Fn(x0، به صورت معادله (xn+1 = F(xn بیان می‌گردد. میتوان نگاشت‌ها را براساس خطی بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) یا غیرخطی بودن (نگاشت لجستیک، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندی کرد.
نقاط ثابت در بررسی رفتار نگاشت‌ها از اهمیت خاصی برخوردار است و براساس آن میتوان نحوه تحول سیستم را درک کرد. از دید هندسی نیز به این طریق میتوان نقطه ثابت را توصیف کرد که: «نقطه ثابت نقطه‌ای است که از تقاطع خط y = x و منحنی (y = F(x به وجود می‌آید»
در سیستمهای دینامیکی، نقاط ثابت می‌توانند خلق یا نابود شوند یا پایداری آنها تغییر کند یعنی تغییر ماهیت داده و از نوع جاذب به دافع ویا برعکس تبدیل شوند. شروع تغییرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگی گفته می‌شود. گذار به حالت دوشاخه شدگی با تغییر کمیتی به نام پارامتر کنترل دوشاخه شدگی (Bifurcation control parameter) صورت می‌گیرد.
برای ارائه مطالب کلی در مورد دوشاخه شدگی میتوان گفت که: اگر با تغییر پارامتر دوشاخه شدگی، ساختار هندسی فضای فاز دستخوش تغییر شود در این صورت دوشاخه شدگی رخ داده است. پارامتر کنترل می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. تغییر رفتار سیستمهای دینامیکی را می توان در سه گروه طبقه بندی کرد:
فضای فاز با کمک مکان (x1) و سرعت (x2) رسم می‌گردد، لذا میتوان گفت که مجموعه جواب‌هایی به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر یک نقطه در حال حرکت در روی منحنی (یعنی مسیر(Trajectory) سیستم) در این فضا خواهند بود.
باید دانست که به ازای شرایط اولیه متفاوت، فضای فاز کاملاً با مسیرها پوشانده شده لذا هر نقطه‌ای را میتوان به عنوان نقطه اولیه در نظر گرفت. هدف ما این است که عکس این ساختار را طی کنیم یعنی مسیرها را رسم کرده و بدین وسیله اطلاعات مربوط به جواب‌ها را استخراج نماییم.
فضای فاز مربوط به یک سیستم n ذره‌ای فضایی است متشکل از ۶n پایه‌های مختصاتی که ۳n پایه آن مربوط به مکان و ۳n پایه دیگر مربوط به اندازه حرکت است، پس هر نقطه در فضای فاز دارای ۶n مختصه می‌باشد که به تنهایی برای توصیف وضعیت سیستم کافی است. وجود ثوابت ابعاد فضای فاز را کاهش می‌دهد. از حرکت یک نقطه در فضای فاز مسیرهای فضای فاز پدید می‌آیند. در حالت کلی، مجموعه مسیرهای فضای فاز حجمی ۶n بعدی را در فضای فاز اشغال می‌کنند. البته باید دانست که به دلیل یکتایی حرکت ذره کلاسیکی، مسیرها در فضای فاز یکدیگر را قطع نمی‌کنند. در نتیجه میتوان گفت که فضای فاز مجموعه‌ای از حالات ممکن یک سیستم دینامیکی است. یک حالت ویژه و مشخص در فضای فاز سیستم را به طور کامل مشخص می‌کند و این تمام آن چیزی است که در مورد شناخت کاملی از آینده نزدیک سیستم مورد نظر، مورد نیاز می‌باشد. به عنوان مثال، فضای فاز یک آونگ، صفحه‌ای دو بعدی شامل موقعیت (زاویه) و سرعت است و مطابق با قوانین نیوتن تعیین این دو متغیر به طور مجزا، حرکت بعدی آونگ را در زمان‌های بعدی مشخص می‌کند.
حال اگر یک سیستم غیرمستقل وجود داشته باشد که میــدان برداری آن (یک معادله دیفــرانسیل به عنوان یک میــدان برداری معرفی می‌شود) به طور صریح به زمــان بستگی داشته باشد، در آن صورت طبق تعــریف فضای فــاز باید زمان را به عنوان یک مختصه فضای فــاز در نظــر گرفت زیرا برای تعیین حرکت در زمان بعدی، یک زمان ویژه باید معلوم باشد. مسیــر در فضای فاز می‌تواند به صورت یک مدار و یا یک منحنی باشد در حالی که در سیستمی که نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت یک ســری از نقاط می‌باشد.
سیستمهای دینامیکی غیرخطی و حتی سیستمهای خطی گسسته، می‌توانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیش‌بینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیش‌بینی، آشوب خوانده می‌شود.
در سیستمهای دینامیکی غیرخطی رابطه میان سرعت و موقعیت غیرخطی می‌باشد. در چنین سیستمی اگر دو جواب داشته باشیم مجموع آنها جواب دیگر سیستم نمی‌باشد. سیستم دینامیکی غیرخطی را نمی توان به اجزا کوچکتر تقسیم نموده و هر یک را جداگانه حل کرد، بلکه باید کل سیستم را با هم و یکجا مطالعه و بررسی کرد (برای مثال، وقتی که قسمت‌هایی از یک سیستم تداخل می‌کنند یا با هم کار می‌کنند یک برهم‌کنش غیرخطی اتفاق می‌افتد و اصل برهم نهی شکست می‌خورد). پس میتوان گفت که معادلات مربوط به تحول در این سیستم‌ها حل تحلیلی ندارند و یا حل تحلیلی آنها بسیار مشکل است. برای تجزیه و تحلیل چنین معادلاتی، دینامیک غیرخطی که در سه بعد منجر به آشوب می‌گردد مورد استفاده قرار می‌گیرد؛ از این‌رو برای تحلیل سیستمهای غیرخطی آشنایی با یک سری مفاهیم اولیه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در یک بعد)، سیکل‌های محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراکتال‌ها یعنی اشکالی با ابعاد غیر صحیح (در سه بعد) لازم است. این مفاهیم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.
سیستمهای دینامیکی غیرخطی را میتوان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد:
در صورتی که تحول در سیستم نسبت به زمان به صورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل استفاده می‌شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ میرا یا معادله گرما؛ اما اگر سیستم به صورت گسسته با زمان تحول یابد، به عبارت دیگر در صورتی که زمان به عنوان عامل جداگانه‌ای در نظر گرفته شود سیستم در قالب نگاشت‌های تکرار(Iterated maps) مطالعه می‌گردد، مانند نگاشت لجستیک (Logistic map).
مطالعه سیستمهای دینامیکی غیرخطی هم اکنون سرلوحه مطالعات در بسیاری از علوم از جمله در: فیزیک، نجوم، ریاضیات، بیولوژی، شیمی، اقتصاد، علوم کامپیوتر، هواشناسی و علوم پزشکی می‌باشد.
۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونه‌ای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ ۷- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس
سیستمهای دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف می‌شوند که معمولاً زمان است. سیستمهای تعمیم یافته‌تر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این روی، سیستمهای چند بعدی خوانده می‌شوند. چنین سیستم‌هایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.
بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمی‌باشند. نظریه سیستمهای پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدل‌سازی از سیستمهای پیچیده در بسیاری از رشته‌ها مانند هواشناسی، زمین‌شناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهواره‌ای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهان‌شناسی کاربرد دارد. سیستمهای پویا بخش اساسیِ نظریه‌ی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.