انحنای سطح یا انحنای گاوسی و هندسه نااُقلیدسی و انحنای فضا

هندسه هُذلولوی

هندسه هذلولوی یکی از هندسه‌های نااُقلیدسی است که به هندسه لباچفسکی نیز مشهور است. نام انگلیسی این نوع هندسه، یعنی (Hyperbolic)، از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی “افزایش یافتن” گرفته شده‌است که در آن فاصله‌ی میان نیم‌خط‌ها دراصل توازی افزایش می‌یابد. هدف از ابداع هندسه هذلولوی پیدا کردن مدل هندسی بود که در آن برای هر نقطه و هر خط  تعداد نامتناهی خط گذرنده ازنقطه  وعمود به خط  موجود باشد. در بعد دو مدل‌های اساسی هندسه هذلولوی عبارتند از دیسک پوانکاره و نیم صفحه بالا. سازگاری هندسه هذلولوی،‌ استقلال منطقی اصل توازی را از سایر اصول هندسه اُقلیدسی نشان می‌دهد.

دیسک پوآنکاره و هندسه هذلولوی روی آن

نیم صفحه‌ی بالا

در این مدل هندسه هذلولوی، کوتاهترین مسیرها (ژئودزیک‌ها) عبارتند از خط‌های عمودی و نیم دایره‌های عمود بر محورx. در هندسه ریمانی چنین هندسه‌ای با متریک ریمانی زیر به دست می‌آید.

انحنای این متریک ثابت و برابر ۱- می‌باشد .

هندسه جبری

هندسه‌ی جبری شاخه‌ای ازریاضیات است که مفاهیم جبر مجرد، به‌ویژه جبر جابجایی، را با مسائل هندسه می‌آمیزد. این شاخه از ریاضیات جدید با آنالیز مختلط، توپولوژی و نظریه اعداد در ارتباط تنگاتنگ است. واریته‌ی مستوی (آفین) n-بعدی که یکی از بنیادی‌ترین مفاهیم این شاخه از ریاضی است، دقیقاً صفرهای مشترک تعدادی دلخواه از چندجمله‌ای‌های n-متغیره روی میدان مفروض تعریف می‌شود؛ بنابراین، حلقه‌ی چندجمله‌ای‌ها نقش عمده‌ای در هندسه‌ی جبری ایفا می‌کند. تاریخ این علم گسترش فراوانی دارد، به‌طوری‌که قسمتی از مطالعات ارشمیدس مسائلی پیرامون مقاطع مخروطی را تشکیل می‌داد. همچنین، ابن هیثم، فیزیک‌دان مسلمان عرب سدهٔ ۱۰ میلادی، برای محاسبه‌ی مسافت‌ها مجبور به استفاده از معادلات درجه‌ی سوم می‌شده‌ است؛ و نهایت اینکه خیام معادله‌ی درجه‌ی سوم را در کلی‌ترین حالت حل کرد. او این کار را از طریق مقاطع مخروطی، و قطع دادنِ دایره با سهمیِ درجه‌ی دوم انجام داد.

هندسه دیفرانسیل

هندسه‌ی دیفرانسیل زمینه‌ای ازریاضیات است که به بررسی ویژگی‌های خمینه‌ها می‌پردازد. خمینه‌ها که مفهوم تعمیم‌یافته از رویه‌ها در ابعاد بالاتر هستند، مهم‌ترین مفهوم مورد بحث هندسه دیفرانسیل می‌باشند.

هندسه تحلیلی

هندسه تحلیلی شاخه‌ای از ریاضیات است که از ترکیب هندسه وجبر مقدماتی به‌ وجود آمده‌ است. در این رشته اشکال هندسی و روابط بین آن‌ها را با مقادیر و معادلات عددی و جبری بیان می‌کنند. بنیان‌گذاران این مبحث، دکارت و فرما در قرن ۱۷ میلادی بوده‌اند. در هندسه‌ی تحلیلی ابتدا با تعریف صفحه‌ی ۱-بعدی و ۲-بعدی آشنا می شویم و نقاط را به وسیله‌ی مختصات عددی نمایش می‌دهیم. این رشته در مورد اندازه، فاصله و زاویه، فرمول‌های مربوط به خود را دارد.

تقسیم بندی هندسه

هندسه مقدماتی به دو قسمت تقسیم می‌گردد: هندسه مسطحه وهندسه فضایی 
در هندسه مسطحه، اشکالی مورد مطالعه قرار میگیرند که فقط دو بعد دارند. درهندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی را داریم. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها ،استوانه‌ها، مخروط‌ها، کره‌ها و… است. 
در هندسه مدرن شاخه‌های زیر مورد مطالعه قرار می‌گیرند:

هندسه تحلیلی

هندسه برداری

هندسه دیفرانسیل

هندسه جبری

هندسه محاسباتی

هندسه اعداد صحیح

هندسه اُقلیدسی

هندسه نااُقلیدسی

هندسه تصویری

هندسه ریمانی

هندسه ناجابجایی

هندسه هذلولوی

هندسه نااُقلیدسی و انحنای فضا

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد و بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می‌پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی‌داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم درهندسه‌ی اُقلیدسی خلاصه می‌شد. درهندسه‌ی اُقلیدسی یک سری مفاهیم اولیه نظیرخط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می‌کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی‌رسید. بنابراصل پنجم اُقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می‌توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضی‌دانان مدعی بودند که این اصل را می‌توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضی‌دانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات اصل توازی مبتکر مفهوم عمیقی درهندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره‌هایی را بیان کرد که کاملاً مطابق گزاره‌هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضی‌دانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه‌های نااُقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه‌های نااُقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه‌ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.