تدریس خصوصی و گروهی ریاضی در شیراز توسط استاد دانشگاه

تدریس خصوصی ریاضی
 - تدریس خصوصی استاتیک ، ایستایی، مقاومت مصالح 1 و 2، طراحی اجزاء، ترمودینامیک، مکانیک سیالات، دینامیک، دینامیک ماشین، ارتعاشات، انتقال حرارت و ریاضی و فیزیک دبیرستان و دانشگاه - مدرس دانشگاه و مولف کتاب
تدریس خصوصی استاتیک، ایستایی، مقاومت مصالح 1 و 2، طراحی اجزاء، ترمودینامیک، مکانیک سیالات، دینامیک، دینامیک ماشین، ارتعاشات، انتقال حرارت و ریاضی و فیزیک دبیرستان و دانشگاه - مدرس دانشگاه و مولف کتاب
(تدریس خصوصی ارزان) تدریس خصوصی استاتیک، ایستایی، مقاومت مصالح 1 و 2، طراحی اجزاء، ترمودینامیک، مکانیک سیالات، دینامیک، دینامیک ماشین، ارتعاشات، انتقال حرارت و

تدریس خصوصی ریاضیات،مفهومی و تضمینی
تدریس مفهومی ریاضیات،تضمینی 
توسط دانش آموخته دبیرستان تیزهوشان(سمپاد) و فارغ التحصیل ممتاز کارشناسی و کارشناسی ارشد از دانشگاه علم و صنعت ایران 
سابقه تدریس ریاضیات دبستان،راهنمایی،دبیرستان، کنکور کارشناسی و کنکور کارشناسی ارشد در مدارس و موسسات برتر تهران 
ریاضی عمومی1 
ریاضی عمومی2 
معادلات دیفرانسیل 
ریاضیات مهندسی پیشرفته 
ریاضیات گسسته 
حسابان 1 و 2 
ریاضیات پایه 
هندسه پایه و تحلیلی 
ریاضیات راهنمایی و دبستان 
ریاضیات تیزهوشان و المپیاد 

تدریس خصوص ریاضی در شیراز
تدریس خصوصی ریاضی فیزیک و شیمی مهندس هداوند کاملا مفهومی ساده و روان دارای مجوز رسمی از سازمان آموزش وپرورش کشور از0تا100ریاضیات، 0تا100فیزیک، 0تا100شیمی،ریاضی اول تادوازدهم،فیزیک و شیمی تمامی پایه ها
تدریس خصوصی ریاضی، فیزیک و شیمی دارای مجوز از سازمان آموزش و پرورش به روشی کاملا مفهومی ساده و روان  در ریاضی فیزیک و شیمی بهترین باشید آموزش چگونگی ساخت ماشین های

ریاضی و فیزیک را مفهومی یاد بگیرید.

تدریس ریاضی به صورت مفهومی (خصوصی و نیمه خصوصی) 
تدریس گروهی در صورتیکه هزینه برای دانش آموزان سنگین باشد. 
رفع اشکال اینترنتی در تلگرام و یا واتساپ 
تدریس در قالب فایل های ویدئویی برای عزیزان شهرستانی 
فیزیک دهم ، یازدهم ، دوازدهم، کنکور 
ریاضی نهم، دهم، یازدهم ، دوازدهم 
دروس پایه دانشگاهی رشته های فنی ( ریاضی مهندسی، معادلات دیفرانسیل، فیزیک مکانیک، استاتیک ، دینامیک، مکانیک سیالات) 
مهندس مکانیک فارغ التحصیل دانشگاه سراسری 
*هر جلسه ۹۰ دقیقه است. 

روش ساخت نوار موبیوس

روش ساخت نوار موبیوس

آگوست فردیناند موبیوس (August Ferdinand Möbius) در روز ۱۷ نوامبر ۱۷۹٠ در شهر زاکسن به دنیا آمد. وی ریاضی‌دان و ستاره شناس مشهور آلمانی است. بیشتر شهرت او به دلیل کشف نوار موبیوس است. نوار موبیوس نواری است که دو لبه آن بر هم قرار گرفته و حلقه‌ای را به وجود می‌آورد؛ البته باید یک لبه انتهایی قبل از اتصال به لبه دیگر نیم دور چرخانده شود. این نوار را دو ریاضی‌دان آلمانی به نام‌های آگوست فردیناند موبیوس و جان بندیکت (Johann Benedict) در سال ۱۸۵۸ به طور مستقل و جداگانه کشف کردند و به ثبت رساندند.

روش ساخت نوار موبیوس

ابتدایی‌ترین راه برای ایجاد این نوار، انتخاب یک نوار مستطیل شکل و نرمی است که آن را یک بار می‌پیچانیم و سپس دو انتهای آن را به هم متصل می‌کنیم. سطحی که به این ترتیب به دست می‌آید «نوار موبیوس» نامیده می‌شود.

این سطح تنها یک رو دارد. به بیان دیگر، یک صفحه کاغذی را می‌توان با دو رنگ گوناگون در دو طرف آن رنگ کرد اما نوار موبیوس را با این روش نمی‌توان با دو رنگ مختلف رنگ کرد. در صورت اقدام به چنین کاری به همان جایی که رنگ کردن را در ابتدا آغاز کرده‌ بودیم، می‌رسیم؛ در حالی که در طرف دیگر نوار هستیم! پس نوار موبیوس، سطحی است که یک رو دارد و حرکت ما روی آن تا بینهایت بار تکرار می شود.

تعریف ریاضی نوار موبیوس

دلیل «یک رویه بودن» این نوار آن است که در هر نقطه a از نوار موبیوس می‌توان دو بردار با جهت‌های مختلف رسم کرد که بر نوار موبیوس در این نقطه عمود باشد. این بردارها را قائم‌های نوار موبیوس در نقطه a می‌نامیم. یکی از این بردارها را انتخاب و نقطه a را به تدریج روی نوار موبیوس جابجا می‌کنیم. در این صورت بردار ما هم همراه با نقطه a جابجا می‌شود. بنابراین، روی نوار موبیوس چنان مسیر بسته‌ای وجود دارد که اگر قائمی این مسیر را روی سطح بپیماید، به جای این که به وضع نخستین خود برسد، روی برداری که در جهت مخالف وضع نخستین آن است قرار می‌گیرد.

مرز یک ناحیه در فضا

مرزِ یک ناحیه، خط جدا کننده آن ناحیه از ناحیه دیگر است. در ریاضیات برای یک سطح سه مفهوم تعریف می شود:

۱- نقطه داخلی: نقطه ای که بتوان آن را داخل یک دایره روی سطح محصور کرد.

۲- نقطه خارجی: نقطه ای است که بتوانیم دایره ای حول آن رسم کنیم که متعلق به آن سطح نباشد.

۳- نقطه مرزی: نقطه ای است که هر دایره ای حول آن رسم شود، قسمتی از آن متعلق به سطح و قسمت دیگر آن متعلق به خارج آن سطح باشد.

با این تعریف نوار موبیوس فقط یک مرز دارد. یعنی با یک بار حرکت در کرانه‌های انتهای نوار تمام مرز آن را می توانیم طی کنیم.

نکاتی در رابطه با نوار موبیوس

اگر با یک خودکار بر روی نوار موبیوس خطی در طول نوار بکشیم و ادامه دهیم این خط دوباره به نقطه شروع باز می‌گردد و هر دو طرف نوار خط کشیده می‌شود! در واقع، نوار موبیوس مثالی از یک رویه بدون جهت (جهت ناپذیر) است. یعنی نوار موبیوس سطحی است که یک رو دارد. نوار موبیوس خواص غیرمنتظره دیگری نیز دارد؛ برای نمونه، هرگاه بخواهیم این نوار را در امتداد طولش بِـبُریم به جای این که دو نوار به دست بیاوریم، یک نوار بلندتر و با دو چرخش به دست می آوریم! همچنین با تکرار دوباره این کار دو نوار موبیوس در هم پیچ خورده به دست می‌آید. با ادامه این کار یعنی بریدن پیاپی نوار، در انتهای کار تصاویر غیرمنتظره‌ای ایجاد می‌شود که به حلقه‌های پارادرومیک (paradromic rings) موسومند. همچنین اگر این نوار را از یک سوم عرض نوار ببریم، دو نوارِ موبیوس در هم گره شده با طولهای متفاوت به دست خواهیم آورد. تمامی این کارها به آسانی قابل اجراء هستند.

کاربرد نوار موبیوس در معماری

خاصیت موبیوسی: خاصیتی است که رابطه بین «درون» و «بیرون» را وارونه می‌کند. یعنی هر نقطه از یک سطح موبیوسی در عین حال که درون است، بیرون نیز می‌باشد! بنابراین در یک تغییر پیوسته، نوعی دگرگونی در ماهیت یک فضا صورت می‌گیرد. در واقع در این حالت فضا خاصیت دو گانه اما پیوسته پیدا می‌کند. خاصیت موبیوس که گذر از درون به برون و از برون به درون را ممکن می‌کند، کمابیش توانسته است بر فراز شکاف حاصل از دوگانگی (ثنویت) پلی بزند (شایگان،۱۳۸٠). بنابراین، فضای ِمیان «برون و درون»، «پیوستگی» و «تکرار» با یک تعریف ریاضی به یک سطح هندسی تبدیل می‌شود. سطحی که بر آن در هر لحظه ای هم داخل و هم خارج فضا هستیم. این ویژگی در طراحی معماری مورد توجه قرار گرفته است

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیک خطی

سیستم‌های خطی سیستم‌هایی هستند که عملکرد آن‌ها به حالت آن‌ها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، می‌توانیم تمامی موقعیت‌های آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمان‌های مختلف بستگی ندارد.

سیستم‌هایی که در آن‌ها یک رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار می‌­شود، سیستمه‌ای خطی به شمار می­‌آیند. تکامل تدریجی سیستم‌های دینامیکی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آن‌ها نیز یک جواب برای سیستم است. هم چنین سیستم‌های خطی از این قابلیت برخوردار هستند که آن‌ها را می­‌توان با تجزیه مسئله به اجزا کوچکتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل کلی آن‌ها اقدام کرد و این از جمله مواردی است که تحلیل سیستم‌های خطی را آسان می­‌سازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و …). در نهایت می‌­توان گفت که تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستم‌ها شناخته شده است. 

سیستم‌های دینامیکی خطی، سیستم‌های دینامیکی هستند که در آن‌ها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستم‌های دینامیکی به طور کلی راه حل‌های فرم بسته ندارند اما سیستم‌های دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستم‌های خطی همچنین می‌توانند برای درک رفتار کیفی سیستم‌های دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.

سیستم‌های دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستم‌های غیرخطی به طور دقیق می‌توان حل کرد. علاوه بر این، راه حل‌های (تقریبی) هر سیستم غیرخطی می‌تواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستم‌های خطی و راه حل‌های آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستم‌های غیرخطی پیچیده است.

مفاهیم اولیه در سیستم‌های دینامیکی غیرخطی آشوب (chaos)

«آشــوب» در لغت به معنای هرج و مرج و بی­‌نظمی است. ریشه لغوی آشوب به کلمه رومی «کائــوس» (Kaous) برمی­‌گردد که مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اویــد» (Owid) می­‌باشد. به نظر او کائوس، بی­‌نظمی و ماده بی­‌شکل اولیه بود که دارای فضا و بعد نامحدودی بوده، به طوری که فرض شده است که قبل از این که جهان منظم شکل بگیرد، وجود داشته است که سپس خالق هستی، جهان منظم را از آن ایجاد نمود.

از لحاظ تاریخی پس از آن که قوانین نیوتــن در مورد حرکت ارائه شد، افــراد زیادی با تکیه بر قطعیت ذاتی این قوانین آنهـ‌ـا را ماشین حساب خدا نامیدند و برای پیش‌گویی آینــده بر حسب مقادیر فعلی کافی دانستند؛ به طور کلی تصور بر این بود که اگر وضعیت فعلی را با دقت بالایی بدانیم می‌توانیم آینــده را هم با همین دقت پیش‌گویی کنیم. این باور هم‌چنان پا بر جا بود تا این که در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــری پوانکاره» در بــررسی و تلاش بــرای حل مسئله سه جسمی متــوجه شد در بعضی موارد اگر دقــت در شــرایط اولیه بالا باشد، لزوماً در نتــایج نهــایی عدم قطعیت ناچیز نیست و با کاهش عدم قطعیت در شــرایط اولیه لزوماً عدم قطعیت کاهش نمی‌­یابد. این مسئله نمودی از رفتــار آشــوبی بود که در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقریبــاً اولیــن تحقیقات عددیی که به معرفی فراگیر آشوب انجامید توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.

تاکنون تعریف کلی پذیرفته شده برای آشوب ارائه نشده است و تعریف زیر از جمله تعاریف پذیرفته شده مطرح می‌­باشد:

« آشــوب، یک رفتــار طولانی مدت غیرپریــودیک در یک سیستم دترمینیســتیک است که وابستـگی حســاس به شــرایط اولیــه را نشان می‌­دهد»

• منظور از رفتار طولانی مدت غیرپریودیک در سیستم‌های دینامیکی آن است که مسیرهایی وجود دارند که وقتی زمان به بی­نهایت میل می‌­کند، مسیر این سیستم‌ها به نقاط ثابت، مدارهای پریودیک و یا مدارهای شبه پریودیک منتهی نمی‌­شوند.
• دترمینیســتیک گویای آن است که سیستم دارای پارامترها یا ورودی­‌های تصادفی(random) نیست ولی رفتار بی نظم این سیستم‌ها از غیرخطی بودن ناشی می‌­شود. این اصطلاح در مقابل stochastic به کار می‌­رود که منظور از آن نامنظم، کاتوره­ای، نامعین و غیرقابل پیش بینی بودن رفتار سیستم است.
• منظور از حساس بودن به شرایط اولیه در سیستم‌های دینامیکی این است که مسیرهای مجاور با سرعت و به طور نمایی از هم جدا می­‌شوند. در واقع این خصوصیت، تفاوت اصلی سیستم‌های دینامیکی آشوبناک با سیستم‌های دینامیکی غیر­آشوبناک است. در سیستم‌های دینامیکی غیر­آشوبناک، اختلاف کوچک اولیه در دو مسیر به عنوان خطای اندازه‌­گیری بوده و به طور خطی با زمان افزایش پیدا می‌­کند در حالی که در سیستم‌های دینامیکی آشوبناک، اختلاف بین دو مسیر با فاصله بسیار اندک همان طوری که گفته شد، به طور نمایی افزایش می‌­یابد.

محیط عمل پدیده آشـوب، سیستم‌های دینامیکی است. یک سیستم دینامیکی شامل یک فضای فــاز مجـرد یا حالت فازی است که مختصاتش، حالت دینامیکی سیستم را با بکارگیری قوانیــن دینامیکی مشخص می‌­کند. یک سیستم دینامیکی می‌تواند منظم یا آشوبناک باشد. البته سیستــم منظم، خود ممکن است تنــاوبی یا شبه ­تنــاوبی باشد. سیستم تناوبی تنها شامل یک فرکانــس و هماهنگ‌های آن است و سیستم شبه تنــاوبی شامل چنــد فرکانس و هماهنگ‌های آن می‌­باشد. در سیستم آشــوبی هیچ تنــاوب غالبی وجود ندارد یعنی این سیستــم دارای دوره تنــاوب بی­نهــایت است

جــذب کننــده­‌ها (strange attractors)

یک جذب کننده مجموعه‌­ای از تمام مسیرهایی است که به سمت یک نقطه ثابت، حلقه محدود یا … همگرا می‌شوند.  نوع دیگری از جذب کننده­‌ها وجود دارند که آن‌ها را جذب کننده­‌های عجیب(Strange attractors) می‌نامند. جذب کننده‌­های عجیب به شدت نسبت به شرایط اولیه حساس هستند و به آن‌ها «عجیب» گفته می­‌شود چون متشکل از مجموعه‌ی فراکتال هستند.

نگاشتــهای تکــرار(Iterated maps)

از آنجا که توصیف سیستم‌های دینامیکی گسسته در زمان با کمک نگاشت‌های تکرار صورت می‌­پذیرد، در این نوع سیستم‌ها رابطه ­ای به صورت (x_n+1=F(x_n مابین نقاطی که سیستم انتخاب می­‌کند وجود دارد که این نقاط با هم تشکیل یک مدار می­‌دهند. بر این اساس منظور از نگاشت، یک رابطه تابعی است از F : R → R که R مجموعه­‌ای است از نقاط حقیقی که به وسیله آن مدار(O(x₀ از نقاط x₀  (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهی از نقاط تعریف می‌­شود: (…,(O(x₀)=(x₀, F²(x₀), F³(x_0.

معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن (x_n = Fⁿ(x₀، به صورت معادله (x_n+1 = F(x_n  بیان می­‌گردد. می­‌توان نگاشت‌ها را براساس خطی بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) یا غیرخطی بودن (نگاشت لجستیک، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندی کرد.

نقــاط ثابت (Fixed points)

نقاط ثابت در بررسی رفتار نگاشت‌ها از اهمیت خاصی برخوردار است و براساس آن می‌توان نحوه تحول سیستم را درک کرد. از دید هندسی نیز به این طریق می‌­توان نقطه ثابت را توصیف کرد که: «نقطه ثابت نقطه‌­ای است که از تقاطع خط y = x و منحنی (y = F(x به وجود می‌­آید»

دوشــاخه­ شدگی (Bifurcation)

در سیستم‌های دینامیکی، نقاط ثابت می­‌توانند خلق یا نابود شوند  یا پایداری آنها تغییر کند یعنی تغییر ماهیت داده و از نوع جاذب به دافع ویا برعکس تبدیل شوند. شروع تغییرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگی گفته می­‌شود. گذار به حالت دوشاخه شدگی با تغییر کمیتی به نام پارامتر کنترل دوشاخه شدگی (Bifurcation control parameter) صورت می­‌گیرد.

• دوشاخه شدگی زینی (Saddle – Node): این نوع دوشاخه شدگی به وسیله خلق یا نابودی نقاط ثابت معلوم می­‌گردد و در نگاشت‌هایی که از یکی از ضابطه­‌های زیر تبعیت می­‌کنند رخ می‌­دهد: 
  dx/dt = r + x² , dx/dt = r – x²
• دوشاخه شدگی گذار بحرانی (Transcritical): در این نوع دوشاخه شدگی هرگز شاهد خلق یا نابودی نقاط ثابت نبوده بلکه با تغییر پارامتر کنترل، فقط نوع پایداری آنها تغییر می­‌کند. شکل کلی سیستم‌های دینامیکی که از این نوع دوشاخه شدگی تابعیت می­‌کنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x²
• دوشاخه شدگی چنگالی (Pitchfork): این نوع دوشاخه شدن در مسائل فیزیکی که دارای تقارن هستند، معمول می­‌باشد (برای مثال، دربسیاری از مسائل فیزیکی یک تقارن فضایی بین چپ و راست وجود دارد).

برای ارائه مطالب کلی در مورد دوشاخه شدگی می­توان گفت که: اگر با تغییر پارامتر دوشاخه شدگی، ساختار هندسی فضای فاز دستخوش تغییر شود در این صورت دوشاخه شدگی رخ داده است. پارامتر کنترل می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. تغییر رفتار سیستم‌های دینامیکی را می توان در سه گروه طبقه بندی کرد:

فضای فاز

فضای فاز با کمک مکان (x1) و سرعت (x2) رسم می­‌گردد، لذا می‌­توان گفت که مجموعه جواب‌هایی به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر یک نقطه در حال حرکت در روی منحنی (یعنی مسیر(Trajectory) سیستم) در این فضا خواهند بود.

باید دانست که به ازای شرایط اولیه متفاوت، فضای فاز کاملاً با مسیرها پوشانده شده لذا هر نقطه‌­ای را می‌­توان به عنوان نقطه اولیه در نظر گرفت. هدف ما این است که عکس این ساختار را طی کنیم یعنی مسیرها را رسم کرده و بدین وسیله اطلاعات مربوط به جواب‌ها را استخراج نماییم.

فضای فاز مربوط به یک سیستم n ذره‌­ای فضایی است متشکل از ۶n پایه­‌های مختصاتی که ۳n پایه آن مربوط به مکان و ۳n پایه دیگر مربوط به اندازه حرکت است، پس هر نقطه در فضای فاز دارای ۶n مختصه می­‌باشد که به تنهایی برای توصیف وضعیت سیستم کافی است. وجود ثوابت ابعاد فضای فاز را کاهش می­‌دهد. از حرکت یک نقطه در فضای فاز مسیرهای فضای فاز پدید می­‌آیند. در حالت کلی، مجموعه مسیرهای فضای فاز حجمی ۶n بعدی را در فضای فاز اشغال می­‌کنند. البته باید دانست که به دلیل یکتایی حرکت ذره کلاسیکی، مسیرها در فضای فاز یکدیگر را قطع نمی­‌کنند. در نتیجه می­‌توان گفت که فضای فاز مجموعه‌­ای از حالات ممکن یک سیستم دینامیکی است. یک حالت ویژه و مشخص در فضای فاز سیستم را به طور کامل مشخص می­‌کند و این تمام آن چیزی است که در مورد شناخت کاملی از آینده نزدیک سیستم مورد نظر، مورد نیاز می‌­باشد. به عنوان مثال، فضای فاز یک آونگ، صفحه‌­ای دو بعدی شامل موقعیت (زاویه) و سرعت است و مطابق با قوانین نیوتن تعیین این دو متغیر به طور مجزا، حرکت بعدی آونگ را در زمان‌های بعدی مشخص می­‌کند.

حال اگر یک سیستم غیرمستقل وجود داشته باشد که میــدان برداری آن (یک معادله دیفــرانسیل به عنوان یک میــدان برداری معرفی می­‌شود) به طور صریح به زمــان بستگی داشته باشد، در آن صورت طبق تعــریف فضای فــاز باید زمان را به عنوان یک مختصه فضای فــاز در نظــر گرفت زیرا برای تعیین حرکت در زمان بعدی، یک زمان ویژه باید معلوم باشد. مسیــر در فضای فاز می‌تواند به صورت یک مدار و یا یک منحنی باشد در حالی که در سیستمی که نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت یک ســری از نقاط می‌­باشد.

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی و حتی سیستم‌های خطی گسسته، می‌توانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیش‌بینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیش‌بینی، آشوب خوانده می‌شود.

در سیستم‌های دینامیکی غیرخطی رابطه میان سرعت و موقعیت غیرخطی می­‌باشد. در چنین سیستمی اگر دو جواب داشته باشیم مجموع آنها جواب دیگر سیستم نمی‌­باشد. سیستم دینامیکی غیرخطی را نمی توان به اجزا کوچکتر تقسیم نموده و هر یک را جداگانه حل کرد، بلکه باید کل سیستم را با هم و یکجا مطالعه و بررسی کرد (برای مثال، وقتی که قسمت‌هایی از یک سیستم تداخل می‌­کنند یا با هم کار می‌­کنند یک برهم‌کنش غیرخطی اتفاق می‌افتد و اصل برهم نهی شکست می‌­خورد). پس می‌­توان گفت که معادلات مربوط به تحول در این سیستم‌ها حل تحلیلی ندارند و یا حل تحلیلی آنها بسیار مشکل است. برای تجزیه و تحلیل چنین معادلاتی، دینامیک غیرخطی که در سه بعد منجر به آشوب می­‌گردد مورد استفاده قرار می­‌گیرد؛ از این‌رو برای تحلیل سیستم‌های غیرخطی آشنایی با یک سری مفاهیم اولیه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در یک بعد)، سیکل‌های محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراکتال‌ها یعنی اشکالی با ابعاد غیر صحیح (در سه بعد) لازم است. این مفاهیم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی را می­‌توان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد:

در صورتی که تحول در سیستم نسبت به زمان به صورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل استفاده می‌­شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ میرا یا معادله گرما؛ اما اگر سیستم به صورت گسسته با زمان تحول یابد، به عبارت دیگر در صورتی که زمان به عنوان عامل جداگانه‌­ای در نظر گرفته شود سیستم در قالب نگاشت‌های تکرار(Iterated maps) مطالعه می­‌گردد، مانند نگاشت لجستیک (Logistic map).

مطالعه سیستم‌های دینامیکی غیرخطی هم اکنون سرلوحه مطالعات در بسیاری از علوم از جمله در: فیزیک، نجوم، ریاضیات، بیولوژی، شیمی، اقتصاد، علوم کامپیوتر، هواشناسی و علوم پزشکی می‌­باشد.

نمونه‌های سیستم‌های دینامیکی

۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونه‌ای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ ۷- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس

تعمیم چند بعدی سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف می‌شوند که معمولاً زمان است. سیستم‌های تعمیم یافته‌تر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این‌ روی، سیستم‌های چند بعدی خوانده می‌شوند. چنین سیستم‌هایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.

کاربرد سیستم‌های دینامیکی

بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمی‌باشند. نظریه سیستم‌های پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدل‌سازی از سیستم‌های پیچیده در بسیاری از رشته‌ها مانند هواشناسی، زمین‌شناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهواره‌ای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهان‌شناسی کاربرد دارد. سیستم‌های پویا بخش اساسیِ نظریه‌ی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.

توپولوژی عمومی STEPHEN WILLARD -کتاب هندسه لورنتسی سراسری Beem

توپولوژی عمومی STEPHEN WILLARD

در میان معرفی بهترین مرجع موجود برای توپولوژی عمومی، این کتاب مرجع مناسبی برای دانشجویان مقاطع مختلف از کارشناسی تا دکتری می‌باشد. این کتاب شامل دو حوزه‌ی گسترده از توپولوژی است: توپولوژی پیوسته و توپولوژی هندسی. در بخش توپولوژی پیوسته به همگرایی، فشردگی، متری سازی و فضاهای متریک کامل، فضاهای یکنواخت و تابع فضایی پرداخته می‌شود. در بخش مربوط به توپولوژی هندسی، به مباحث خواص اتصال، نظریه‌های مشخصه توپولوژیکی و نظریه هموتوپی پرداخته می‌شود.

کتاب هندسه لورنتسی سراسری Beem

global-lorentzian-geometry-second-edition

کتاب هندسه لورنتسی سراسری Beem، شکاف بین هندسه‌ی دیفرانسیل و فیزیک ریاضیات نسبیت عام را بر طرف می‌کند. این کتاب، در ویرایش دوم، شامل مطالب جدید و گسترش یافته ای در موضوعاتی چون بی ثباتی فضا‌ زمان‌های عمومی کامل ژئودزیکی و ناقص ژئودزیکی، همبستگی ژئودزیکی، شرایط عمومی، تابع انحنای Sectional در همسایگی دو‌صفحه منحط، و قضیه‌ی شکافندگی لورنتسی است.

محاسبات ناپایداری و نگاشت‌های هارمونیک حدها‌ی آکرونال

محاسبات ناپایداری و نگاشت‌های هارمونیک

Calculus of Variations and Harmonic Maps

این کتاب دیدگاه وسیعی از محاسبات ناپایداری را فراهم می‌کند، زیرا نقش اساسی در زمینه‌های مختلف ریاضیات و علوم دارد. کتاب مورد معرفی شامل مثال‌های فراوان، مسائل حل شده، و تمریناتی با پاسخ‌های کامل است. این کتاب برای دوره‌های تحصیلی در هندسه دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، و روش‌های متغییر مناسب می‌باشد. بخش اول کتاب به توضیح خمینه‌های با ابعاد نامتناهی اختصاص دارد و شامل مثال‌های بسیاری است. در مقدمه‌ی کتاب نظریه‌ی مورس(Morse theory) از خمینه‌های باناخ (Banach manifolds) ارائه شده است همراه با، اثبات وجود توابع کمینه سازی در شرایط Palais-Smale. بخش دوم، که ممکن است مستقل از بخش اول خوانده شود، تئوری نگاشت‌های هارمونیک را ارائه می‌دهد، همراه با، محاسبه دقیق ناپایداری اول ودوم انرژی. در این کتاب چندین کاربرد از ناپایداری دوم و تئوری نگاشت‌های هارمونیک ارائه شده است.

حدها‌ی آکرونال و قضیه‌ی شکافندگی

این مقاله، پایان نامه دوره‌ی کارشناسی ارشد اینجانب است. مرجع اصلی آن مقاله Achronal Limits, Lorentzian Spheres and Splitting از Gregory J. Galloway and Carlos Vega است که آن را در سایت قرار داده‌ام. در این پایان نامه تعمیم گسترده‌ای از مفهوم شبه‌کره در هندسه لورنتسی را خواهیم داشت. پایان نامه شامل پنج فصل است. در فصل اول، پیشنیازها. در فصل دوم، شبه‌کره‌های تعمیم یافته در قالب حد‌های آکرونال. در فصل سوم، شبه‌کره‌های کشی و شعاعی معرفی شده‌ اند و در فصل چهارم، ابتدا مشخصه‌های سختی و تحدب شبه کره‌های تعمیم یافته مورد مطالعه قرارگرفته اند سپس این نتایج، برای بدست آوردن نتایج شکافندگی فضازمان هذلولوی سراسری به کار گرفته شده اند. این پایان نامه با استفاده از مفاهیم و روش‌هایی از هندسه شبه ریمانی نوشته شده است به همین دلیل فصل پنجم، برای افرادی که آشنایی کمتری با این مفاهیم دارند در قالب ضمیمه آورده شده است.

دربحث هندسه‌ی شبه ریمانی و به تبع آن این پایان نامه و مباحث فضازمان، مفهوم خمینه (منیفلد)، ژئودزیک‌ها، بردار‌های فضاگونه (زمان‌گونه و پوچ) و… ازاهمیت بالایی برخورداراست. پیشنیاز یادگیری خمینه‌ها وتعاریف مرتبط با آن نیز، آموختن فضاهای توپولوژیک و… می‌باشد.